Bài Toán Vô Tận Của Cantor Và Lý Học Đông Phương

Anh Vuivui thân mến.

Như vậy anh xác định là ông Thọ không định nghĩa về "Tập hợp". Vậy tôi nghĩ: Nghịch lý Cantor cần phải có một định nghĩa chuẩn về "Tập hợp" mới giải được.

Tôi nghĩ tôi đã giải xong bài toán này bằng định nghĩa của tôi phát triển từ cơ sở ban đầu của Thế Trung.

Cho đến lúc này, tôi vẫn xác định rằng: Thuyết Âm Dương Ngũ hành chính là lý thuyết thống nhất.

Vấn đề còn lại là sự phục hồi hệ thống và sự hoàn thiện của nó.

chào sư phụ thiên sứ ,chú vui vui, anh the trung

tuấn dương nghĩ carton đã sai khi đưa ra định lý 3

Cantor xác định:

3. Và hay hơn nữa: một tập hợp bất kỳ đều tìm được một tập hợp lớn hơn nó – có vô tận các vô tận

theo tuấn dương ko có vô tận của các vô tận ,và ko phải tập hợp nào cũng tìm được tập hợp lớn hơn nó

trong sự hiểu biết giới hạn của mình ,tuấn dương xin được trình bày như sau :

vd :

0 thuộc tập hợp A

B tập hợp của dãy số dương :1,2,3........

C tập hợp của dãy số âm :-1-2-3 ......

khi nói tập hợp của dãy số âm dương ta sẽ hiểu nó là tập hợp của B+C nhưng ko hề có tập hợp A .(vì A ko phân âm dương)

đã ko thể phân âm dương thì ko thể nói nó chứa cả âm +dương và càng ko thể nói tập hợp A là lớn nhất

tương tự khi nói về thái cực và lưỡng nghi cũng vậy

lưỡng nghi chỉ là tập hợp của âm_dương

thái cực là tập hợp ko phân âm_dương

nên nếu nói tập hợp lớn nhất phải là A+B+C hoặc tập hợp thái cực +lưỡng nghi .(đây là tập hợp vô tận duy nhất )

kính

tuấn dương

Cá nhân tôi xác định rằng:

Cantor đúng khi đưa định đề III và không hề có mâu thuẫn với tập hợp của tất cả tập hợp.

Đây chính là sự phân loại của thuyết Âm Dương Ngũ hành. Tri thức khoa học hiện đại chưa đi đến tận cùng bản chất của vật chất. Bởi vậy khái niệm thế nào là một tập hợp mơ hồ. Trên cơ sở đó người ta thấy nghịch lý của Cantor. Nhưng thuyết Âm Dương Ngũ hành thì không!

Về phần tôi thế là đủ chúng nghiệm.

Còn tính phổ biến của nó thì cần một định nghĩa chuẩn về Tập hợp để mọi người cùng thừa nhận. Toán học phải phản ảnh một thực tại bằng những ký hiệu và khái niệm của nó. Cũng như Thuyết Âm Dương Ngũ hành vậy.

Vài lời chia sẻ .

Đây là một diễn đàn học thuật mở, ngoại trừ những kẻ phá đám, chỉ trích phong long thì bị loại đã đành. Nhưng ngay cả những người thiện chí cũng không phải vấn đề gì cũng có thể tham gia tranh luận được. Trong tranh luận học thuật không nói phong long , mà phải có luận cứ - dù đúng hay sai - để người tham gia biết kết luận của mình căn cứ vào đâu mà tham gia.

Tôi không tán thành cách thể hiện của Hoangnt.

Vấn đề cần giải quyết trong topic này đến đây đang là:

Một định nghĩa chuẩn về khái niệm "Tập hợp" - giải quyết vấn đề này xong đã. Còn nếu ko ai có ý kiến gì hoặc giới thiệu một định nghĩa từ nới khác thì tạm lấy khái niệm của Thế Trung với sự bổ sung của tôi để quán xét và giải quyết tiếp.

Để tiện cho việc tham khảo, đối chiếu, tôi chép lại bài viết theo đường link của Thế Trung đưa lên đây. Cảm ơn sự quan tâm của quí vị và anh chị em.

Anh chị em các lớp Phong thủy thân mến.

Đây là một bài viết rất tuyệt vời vì tính tổng hợp và khái quát cao với những ý tưởng rất mới trong mối liện hệ văn hóa và tri thức Đông Tây - liên quan đến Lý học. Anh chị em cần chép về tham khảo và suy nghiệm. Bài viết này có thể coi như kiến thức căn bản sẽ phát triển trong tương lai của những anh chị em nào nghiên cứu kết hợp giữa Lý học Đông phương và khoa học hiện đại.

Cảm ơn Thế Trung

==========================================================

Không, Hư vô, Chân không trong khoa học tự nhiên

Đi xa ngàn dặm bắt đầu từ một bước chân

Đạo đức kinh

Hà Dương Tuấn

Để kính mừng Giáo Sư Hoàng Tuỵ thượng thọ 80.

Đã đăng trong Kỷ Yếu tặng Giáo Sư Hoàng Tuỵ :

Sĩ Phu thời nay, nxb Tri Thức, Hà Nội tháng 12-2007.

Tiểu luận này trình bày những cách hiểu khác nhau trong lịch sử của khoa học tự nhiên ¹ về cái không và cái chân không – bằng cách sử dụng khái niệm mô hình. Khái niệm then chốt của khoa học luận này ít khi được nhấn mạnh đầy đủ, có lẽ do hai lý do trái ngược nhau: hoặc như các nhà khoa học, coi đó là hiển nhiên vì phải vận dụng hàng ngày; hoặc không hề để ý đến nó do truyền thống văn hoá, không phân biệt hai thế giới khác nhau của ý thức và vật chất. Sơ bộ, thao tác mô hình hoá là việc dùng một ngôn ngữ chính xác để mô tả và khảo sát sự vật. Xin trở lại với nó rõ hơn sau.

Có thể hiểu một lý thuyết khoa học như sự mô hình hoá các hiện tượng cơ bản của thế giới vật chất bằng cách phát biểu các quy luật của nó. Những quy luật này trở thành những tiên đề, và để áp dụng những tiên đề trong một hoàn cảnh đặc thù cần diễn dịch nó chung với những tham số của hoàn cảnh đó để rút ra những kết luận hữu ích. Thí dụ như người ta có thể từ định luật hấp dẫn vũ trụ của Newton và những đặc điểm của thái dương hệ để suy ra việc làm vệ tinh nhân tạo. Ngôn ngữ khoa học vì thế thường được gọi là một hệ thống tiên đề - diễn dịch.

Ngôn ngữ có tính hệ thống, các khái niệm tự xác định ý nghĩa lẫn nhau trong một quan hệ tổng thể. Nhưng ngôn ngữ nói chung không chỉ có tính hệ thống; một mặt ý nghĩa của các khái niệm thay đổi với thời gian, và mặt khác các từ ngữ trừu tượng dùng cho những khái niệm mới thường thoát thai từ những từ ngữ và khái niệm có sẵn; do đó mỗi khái niệm thường phải được đặt trong một "vùng ngữ nghĩa" nào đó mà những người đối thoại cần hiểu ngầm với nhau, và không chắc như nhau...

Với tính chất tiên đề - diễn dịch hoàn toàn chặt chẽ và chính xác, người ta có thể nghĩ rằng ngôn ngữ khoa học có tính hệ thống tuyệt đối, không có quá khứ, một ngôn ngữ lý tưởng để mọi người đều hiểu như nhau. Tuy nhiên, trong nghĩa rộng, ngôn ngữ mà các nhà khoa học dùng để suy tư, sáng tạo, và thảo luận với nhau, thì không hẳn thế. Những khái niệm căn bản nhất, trên đó khoa học chính xác đã xây dựng được những hệ thống tiên đề - diễn dịch rất bao quát và thống nhất như hiện nay, chẳng hạn như : cái có và cái không, khẳng định và phủ định... vẫn thoát thai từ trực giác. Có từ lâu đời trên mọi nơi của địa cầu, những trực giác ấy đã được phát triển thành khái niệm theo những hướng khác nhau.

Do đó ngôn ngữ khoa học không chỉ là một mớ những khái niệm ròng lý thuyết, mà ở nơi sâu thẳm nhất nó còn vương vấn những sắc thái văn hoá đặc thù. Trong một giai đoạn ổn định, các sắc thái ngôn ngữ ấy đã được vượt qua và không còn ảnh hưởng gì trong khoa học. Nhưng đến khi có khủng hoảng, thí dụ với những nghịch lý của cơ học lượng tử, thì đào sâu nhận thức về thế giới tự nhiên còn là đào sâu vào nền tảng của tư tưởng ², và khi đó những sắc thái văn hoá đặc thù của ngôn từ có thể xuất hiện trở lại : người ta đã nhận thấy điều ấy trong những luận thuyết về một sự tương hợp nào đó của tư tưởng Á Đông ³ và khoa học hiện đại... Điều cần trân trọng ở đây là ý thức về sự dung hợp văn hoá đó, tối cần thiết và khẩn cấp trong thời đại toàn cầu hoá kinh tế hiện nay. Nhưng chính vì thế có lẽ nên nhận định rõ đâu là ước mong và đâu là thực tế.

Có chắc gì những từ tương đương giữa các ngôn ngữ – như hư vô / néant, chân không / vide... – đã được cảm nhận hoàn toàn như nhau giữa một người thấm nhuần văn hoá Á Đông và một nhà khoa học Tây phương ? trong cuộc đối thoại giữa một thiền sư và một nhà vật lý lý thuyết ? Ở đây sự đồng cảm đích thực sẽ rất quý giá, nhưng chắc không dễ dàng. Tác nhân của những hiểu lầm và ảo tưởng có thể xẩy ra, ngoài cái bất đối xứng về sức mạnh vật chất giữa Á Đông và Tây phương – nguồn gốc của những mặc cảm có khả năng bóp méo nhận định và suy luận – , còn là sức nặng lịch sử của ngôn từ. Cho nên tưởng cũng không thừa nếu chúng ta bắt đầu con đường đi đến đồng cảm và dung hợp ấy bằng cách tìm hiểu ý nghĩa trong khoa học hiện đại của những ngôn từ / khái niệm cơ bản, dựa trên những trực giác sâu thẳm, như cái có và cái không...

Tiểu luận này gồm ba phần chính, phần đầu tóm lược một đặc tính của khoa học có liên quan tới chủ đề, đó là sự chấp nhận hiện thực khách quan, và coi hoạt động khoa học là sự mô hình hoá hiện thực khách quan đó; phần hai dựa trên đặc tính này để phát triển rõ hơn các khái niệm "không" và "hư vô" trong luận lý học và toán học, và phần ba trình bày những quan niệm về "chân không" như một đặc tính của không gian chúng ta đang sống, với những biến chuyển trong lịch sử khoa học.

1. Thực tại và mô hình

1.1. Có chăng Hiện thực khách quan ?

Để mọi người có thể đồng ý với nhau trên câu hỏi "hiện thực là cái gì ?" "có chăng một hiện thực khách quan ?" thật không dễ. Trong khung cảnh khoa học tự nhiên của tiểu luận này, xin chỉ có vài phân biệt ngắn gọn, rồi hy vọng các thuật ngữ sẽ phần nào tự xác định rõ thêm trong các ngữ cảnh. Theo thiển ý có ba cách hiểu chữ "hiện thực" :

Một là tất cả những hiện tượng vật chất của đời thường, mà mọi người có lý trí và giác quan bình thường đều nắm bắt được. Xin gọi chung là "hiện thực vật chất nghiệm sinh" ("hiện thực", nếu ngữ cảnh cho phép) theo nghĩa đó là tất cả những hiện tượng cụ thể trong nghiệm sinh của con người, cảm nhận được bằng giác quan, trực tiếp hay gián tiếp qua đo lường.

Hai là một cái gì bao trùm tất cả, vừa sâu sắc hơn, vừa thống nhất hơn, vừa đơn giản hơn "hiện thực vật chất nghiệm sinh" nói trên, nó "nằm ở đằng sau", và làm nảy sinh mọi hiện tượng. Xin gọi nó là "bản thể của hiện thực", nói gọn là "bản thể" trong ngữ cảnh của tiểu luận này. Đây không phải là "bản thể" theo nghĩa triết học, mà ở đây không đề cập đến. "Bản thể của hiện thực", vì không thể được trực tiếp nghiệm sinh, chỉ thuần tuý là một khái niệm sơ khởi, mà việc có thể được hiểu toàn bộ và thấu đáo hay không, là tuỳ thuộc niềm tin của từng người.

Cách hiểu thứ ba gộp hai cách hiểu trên làm một, cho rằng mọi hiện tượng vật chất đều đã được khoa học giải thích thoả đáng và đầy đủ bằng một số quy luật cơ bản và thống nhất. Hiện tượng chỉ là sự biểu hiện của bản thể, người ta giải thích được tại sao và như thế nào các hiện tượng nảy sinh, cũng như biết đi ngược từ hiện tượng đến bản thể, tuy không thể chính xác 100% do giới hạn của các công cụ đo lường. Đây là cách hiểu của một thời khi người ta nghĩ rằng khoa học đã giải thích được tất cả, chỉ còn một vài vấn đề nhỏ... xin gọi cách hiểu như thế là sự khẳng định "hiện thực tuyệt đối".

Khoa học chỉ nói về các hiện tượng, cho nên thế giới vật chất mà các nhà khoa học mô tả nếu hiểu một cách nghiêm ngặt thì chỉ là hiện thực hiểu theo nghĩa thứ nhất nói trên. Nhưng trong tinh thần khoa học có một niềm tin tiên thiên (a priori) sâu hơn thế: thế giới hiện tượng này là biểu hiện của một bản thể tồn tại và biến chuyển theo những quy luật độc lập với ý thức con người, biết được xuyên qua việc khảo sát hiện thực nghiệm sinh. Cho đến nay chưa có luận cứ có tính thuyết phục nào đi ngược lại niềm tin này ⁴. Xin gọi đó là niềm tin về hiện thực khách quan. Niềm tin này không hẳn là niềm tin vào một hiện thực tuyệt đối.

Đại đa số các nhà khoa học, trong hoạt động khoa học của mình, luôn luôn hành xử với niềm tin về hiện thực khách quan, vì chính hoạt động khoa học là sự tìm hiểu những mối liên hệ nhân quả giữa các hiện tượng. Có thể coi những quy luật nhân quả đó như sự biểu hiện của "một cái gì đó" mà ta đã gọi là "bản thể", vì nếu giữa hai hiện tượng chỉ là hư vô, thì không thể có một quy luật nhân quả nào nối liền chúng với nhau. Thí dụ khi người ta bắn một hạt điện tử (electron) lên một màn huỳnh quang, chỉ biết lúc bắn ra và lúc nó chạm vào màn huỳnh quang thì nó có những tính chất vật lý đã đo được, ở hai thời điểm đó có hai hiện tượng mà ta gọi là điện tử; giữa hai thời điểm đó ta vẫn gọi "nó" là điện tử, nhưng thực ra không biết "nó" là cái gì. Tuy nhiên "nó" hiện hữu và biến chuyển theo một quy luật khách quan mà người ta đã dùng để làm nên màn ảnh huỳnh quang hiện ra phong cảnh đẹp đẽ. Khái niệm bản thể hiểu như thế không thể được coi là trống rỗng.

Mặt khác, những mô hình toán học hiện đại dùng để biểu diễn các quy luật và tiên đoán các hiện tượng trở nên rất khác biệt với chúng, phức tạp, kỳ lạ và đi ngược lại trực giác. Do đó có những nhà khoa học lớn phủ nhận bất cứ cái gì "đằng sau" hiện thực nghiệm sinh. Theo thiển ý, có lẽ những phát biểu đó phản ảnh sự bất lực của lý trí trước những nghịch lý của vật lý hiện đại, từ đó đi quá đà đến sự phủ nhận bản thể. Theo những phân tích ở trên, đây thực chất là phủ nhận hiện thực tuyệt đối.

Có một số quan điểm thoạt đầu nghe rất khác niềm tin về hiện thực khách quan, nhưng thực ra không khác. Thí dụ như : cái thế giới vật chất duy nhất này chỉ là một ảo tưởng chung, liên chủ quan (intersubjectif – tuy thuộc chủ quan của mỗi người, nhưng lại đồng nhất với nhau), của mọi sinh vật có ý thức. Sở dĩ thế giới đó mang những trạng thái và những quy luật xác định được cũng như tiên đoán được, là vì tất cả các sinh vật có ý thức có cùng chung những ảo tưởng, do đã trải qua cùng những quan hệ nhân quả (có thể gọi cái Ý Thức lớn, viết hoa, mẫu số chung của mọi ý thức cá nhân đó là "cộng nghiệp"). Nhưng như thế không có gì cho phép phân biệt hiện thực và ảo tưởng. Nếu ảo tưởng (kể cả sống, chết, mất, còn) là của tất cả, thì ảo tưởng cũng là hiện thực sắt đá của tất cả:

Có thì muôn sự có,Không thì tất cả không ⁵.

Cho nên nếu hiểu niềm tin "cộng nghiệp" như thế thì nó hoàn toàn có thể được đồng hoá với niềm tin thứ ba này : Thượng Đế đã sáng tạo tất cả vũ trụ cách đây bốn nghìn năm trước (mà nói chỉ một sát na trước thì cũng không khác), rồi sau đó Thượng Đế không can thiệp vào thế giới vật chất nữa; sáng tạo ấy bao gồm tất cả những quy luật vật lý cũng như tất cả các chi tiết hợp quy luật cho phép người ta nghĩ rằng vũ trụ đã có từ 13 tỷ năm trước, và loài khủng long đã để lại những bộ xương từ hơn một trăm triệu năm. Sự khác biệt chỉ nằm ở nguồn gốc của hiện thực khách quan, một vấn đề siêu hình.

Thế giới của ý thức bao gồm những cảm giác và những khái niệm diễn ra trong tâm tư và trí tuệ con người, có thể được biểu thị qua hành động hay trao đổi với nhau qua ngôn ngữ. Thế giới ý thức vừa có ảnh hưởng hỗ tương, vừa độc lập tương đối với thế giới vật chất. Ý thức dĩ nhiên có thể làm thay đổi thế giới vật chất, nhưng để làm được điều đó cho đến nay nó phải vận dụng những quy luật độc lập với nó của thế giới vật chất. Niềm tin về hiện thực khách quan được hình thành do con người đã tích tụ những kinh nghiệm ngày càng phủ định về tác động của ý thức lên thế giới vật chất một cách trực tiếp, không thông qua môi giới vật chất.

Một trong những bí ẩn đầu tiên, có thể nói là huyền bí, của cơ học lượng tử (CHLT) là hiện tượng lưỡng tính hạt và sóng, điều đó khiến cho những nhà khai phá hàng đầu như Bohr và Heisenberg đã có những tuyên bố dễ làm người ta hiểu lầm về vai trò của ý thức, nhưng thực ra trong ngữ cảnh của những tuyên bố này luôn luôn có sự hiện diện của môi giới vật chất, đó là các thí nghiệm cụ thể với các thiết bị đo lường cụ thể, một cấu hình thí nghiệm nào đó sẽ cho thấy tính chất hạt của lượng tử (hay nguyên tử), và một cấu hình khác sẽ cho thấy tính chất sóng của nó ⁶. Nhưng tại sao lại có hai hiện tượng – của tự nhiên, độc lập với ý thức người quan sát – bất nhất như thế ? Làm sao có được cái nhìn về thế giới vật chất dung hợp được những hiện tượng mà thuyết tương đối (TTĐ) và CHLT đã thiết lập ? Theo thiển ý, hiện nay chưa ai trả lời được rốt ráo những câu hỏi loại này. Chính vì thế chúng ta càng nên thận trọng phân biệt rõ bản thể – hiểu trong tính tổng thể và tính thống nhất của nó, và vẫn còn nằm ở chân trời phía xa – với những mô hình mô tả được những khía cạnh khác nhau của hiện thực, rất hiệu quả và là nguồn gốc của cuộc cách mạng khoa học kỹ thuật vũ bão hiện nay, tuy chưa có một mô hình hoàn chỉnh và tổng thể để cho phép hiểu hiện thực (một cách) tuyệt đối.

1.2. Mô hình và giới hạn của mô hình

Trong nghĩa thông thường, "mô hình hoá" một hiện tượng nào để khảo sát nó, là dùng một ngôn ngữ chính xác để mô tả hiện tượng ấy trong những khía cạnh liên hệ và bỏ đi những mặt không liên hệ đến mục đích khảo sát, đây chính là "trừu tượng hoá" hiểu theo nghĩa đen, vì "trừu tượng" nguyên nghĩa là giữ lại cái đặc trưng, đã được dùng để dịch "abstraction" mà nguyên nghĩa là bỏ đi cái không cần thiết. Nhưng mô hình hoá không phải chỉ là giữ và bỏ mà còn là thêm vào.Chính vì qua việc khu biệt hoá và thuần khiết hoá những lớp bài toán đặc thù, nó là một công cụ cho phép hiểu rõ hiện thực hơn, từ đó khám phá những những quy luật còn bị ẩn dấu của tự nhiên, giải thích những hiện tượng chưa giải thích được, khám phá những hiện tượng mới. Mặt khác, bản thể của hiện thực, nếu hiểu được, phải thống nhất và bao trùm, nhưng mô hình cho một khía cạnh nào đó của hiện thực thì không cần như thế, tuy sự tìm hiểu hiện thực ngày càng được mở rộng, để hy vọng đi đến một mô hình tổng thể.

Khái niệm "mô hình", rất quen thuộc trong văn hoá Tây phương, hình như hoàn toàn vắng bóng trong văn hoá Á Đông. Có thể coi khái niệm mô hình bắt nguồn từ "thế giới ý tưởng" của Platon ⁷. Nếu không quen với khái niệm triết học này người ta rất dễ đánh đồng thực tại với mô hình của thực tại, là những lý thuyết khoa học, vì thông thường người ta chỉ có thể nói với nhau về thực tại bằng ngôn ngữ khái niệm, tức ngôn ngữ của mô hình. Đến khi phải dùng những cách nắm bắt thực tại khác nhau cho những hoàn cảnh thực nghiệm khác nhau... người ta mới không khỏi vò đầu bứt trán : tại sao thực tại khi thì thế này, khi thì thế kia ? khi thì là hạt, khi thì là sóng ? Nếu đổi lại thành một câu hỏi chính xác hơn : tại sao mô hình của thực tại lại khi thế này khi thế kia... thì có lẽ dễ thở hơn, ít ra về mặt tâm lý.

Sau đây là một thí dụ phổ biến của sự đánh đồng thực tại với mô hình, rồi từ đó đi đến ngộ nhận: người ta nói đến "hiệu ứng cánh bướm" (một con bướm vỗ cánh ở Brasil liệu có thể gây nên bão tố ở Texas) như là thí dụ của việc một nguyên nhân nhỏ có thể gây nên hậu quả lớn. Vậy có gì lạ đâu ? đó là một hiện tượng ai cũng biết, tục ngữ có câu "rút dây động rừng". Ý nghĩa của câu nói này không phải thế, không có một quan hệ nhân quả nào giữa một con bướm cụ thể nào và cơn bão; mỗi lúc tại Brasil có hàng triệu con bướm vỗ cánh, vậy con bướm nào gây ra bão tố đây ? "Hiệu ứng cánh bướm" không nói đến điều ấy, mà nói đến khả năng có hạn của mô hình khoa học trên một số bài toán, đặc biệt bài toán dự báo khí tượng. Do vì, từ khác biệt ban đầu rất nhỏ (như cái vỗ cánh của một con bướm) mô hình sẽ cho ra những kết quả khác biệt rất lớn (như có bão hay không có bão) sau một thời gian nào đó, cho nên khi đó mô hình trở thành vô ích. Khi hiểu đúng văn cảnh ⁸ của ẩn dụ nổi tiếng này thì con bướm và bão tố đều chỉ là những hình tượng văn vẻ (và rất đáng tiếc dễ gây hiểu nhầm) cho các đại lượng trừu tượng trong mô hình, không phải những hiện tượng thật. Điều oái oăm ở đây là hình ảnh quá cụ thể này đã đẩy người ta vào cái sai lầm mà chính nó muốn nói đến.

Thực vậy, về mặt nhận thức luận ý nghĩa của "hiệu ứng cánh bướm" quan trọng hơn rất nhiều cách hiểu "rút dây động rừng". Đó là : không thể dự báo (cũng có nghĩa là không thể tác động đến như ý muốn) về tương lai lâu dài của một số hệ thống. Sự bất lực có tính lý thuyết này có hệ luận là : trên thực tế không thể đánh đồng thực tại với mô hình, và sẽ không bao giờ làm được như thế. Khoa học luận hiện đại cần chúng ta có ý thức thường trực và rõ rệt về sự phân biệt này. Chúng ta có thể tin tưởng hay không là một ngày nào đó sẽ có một lý thuyết bao quát và thống nhất về thực tại trên mọi khía cạnh ⁹ – khi đó sẽ có thể nói là con người đã hoàn toàn hiểu thế giới vật chất – , nhưng dù có như thế thì sự áp dụng lý thuyết đó trên một số khía cạnh thực tế để dự phóng về tương lai cũng sẽ chỉ cục bộ và giới hạn trong một khoảng thời gian nhất định. Trong một số bài toán hiện nay có thể nói : tiên đoán được không có nghĩa là hiểu, nhưng trong một số bài toán khác thì mãi mãi hiểu cũng không có nghĩa là tiên đoán được quá xa.

2. Chữ "không" trong luận lý học và toán học

Lôgích học là công cụ của toán học, nó cho phép bảo đảm tính chặt chẽ khi xây dựng một lý thuyết toán. Và, trong phạm vi của tiểu luận này, toán học là công cụ của vật lý học, nó cho phép xây dựng những mô hình của thực tại với những đại lượng cơ bản nhất như không gian, thời gian, năng lượng, vật chất... và những quy luật tương tác giữa những đại luợng ấy. Những mô hình thích hợp với thực nghiệm sẽ cho phép quan sát hay/và tác động lên thực tại, rồi tiên đoán chính xác kết quả... Do đó khoa học trở thành nguồn gốc của những tiến bộ kỹ thuật đã làm thay đổi đến chóng mặt cuộc sống con người.

Trong mối liên hệ đa tầng đó, chữ "không" vừa vẫn mang cái trực giác ban đầu : ngược lại với "có một cái gì" là "không có gì cả", vừa mang những sắc thái khác nhau vì mỗi tầng của cái cấu trúc trí tuệ đó có những đối tượng riêng. Trước hết, để khảo sát thế giới cần một ngôn ngữ ngắn gọn và chính xác, đó là ngôn ngữ toán học. Từ đầu thế kỷ thứ 17 sau tuyên ngôn nổi tiếng của Galileo Galilei (1564-1642) "cuốn sách của tự nhiên được viết bằng ngôn ngữ toán", các nhà bác học đã tìm ra nhiều quy luật của tự nhiên trong cơ học, quang học, hoá học, điện từ học... và những quy luật rất hiệu quả ấy là cơ sở cho sức mạnh vật chất của phương Tây. Công cụ toán học cần thiết cho việc khám phá những quy luật đó và phát triển chúng cho những tính toán ứng dụng, chính là toán vi tích phân, đồng thời được Newton và Leibniz sáng tạo độc lập với nhau. Nhưng khởi đầu toán vi tích phân được các nhà vật lý vận dụng một cách tương đối không chặt chẽ, công cuộc phát triển toán học kéo dài trong suốt các thế kỷ 17, 18 cho đến cuối thế kỷ 19 mới coi như làm chủ được hoàn toàn cái vô cùng tận hiện hữu (infinité réelle) ¹⁰, cần thiết cho toán vi tích phân để định nghĩa rõ rệt thế nào là sự liên tục của không gian. Để đặt nền móng lý luận chặt chẽ cho toán học, ngành học về lôgích có từ thời Aristotle đã phát triển mạnh trở lại, nó có tên mới là "toán luận lý" (logique mathématique) hay "luận lý học hình thức" (logique formelle), để cho gọn xin gọi là lôgích học. Kết quả là toán học đã được xây dựng trên nền tảng của thuyết tập hợp tiên đề hoá ¹¹ (théorie axiomatique des ensembles); nằm giữa hai tầng cấu trúc tri thức, nó vừa được coi là toán học vừa được coi là lôgích học. Cuộc xây dựng thuyết này khá trắc trở, phải vượt qua nhiều nghịch lý (paradoxes) mới được chặt chẽ như ngày nay.

Tính chặt chẽ này được bảo đảm bằng một phương pháp hai giai đoạn, dĩ nhiên "hai giai đoạn" ở đây không hàm ý trước sau theo thời gian mà chỉ là một thứ tự thuần lý.

Giai đoạn thứ nhất là xây dựng thuyết tập hợp tiên đề hoá bằng lôgích học, trong giai đoạn này một thuyết tập hợp hạn chế, hay thuyết tập hợp hồn nhiên (naif), được sử dụng. Điều mặc nhiên được công nhận là như sau : đối tượng của lôgích học chỉ là những chuỗi ký hiệu (của toán học hay của bản thân lôgích học), trong một tập hợp hữu hạn (hữu hạn cũng có nghĩa là rời rạc), mà trong khung cảnh hữu hạn thì trực giác con người là tuyệt đối giống nhau khi nhận biết, lý luận và tính toán (đi từ một chuỗi ký hiệu này đến một chuỗi ký hiệu khác) một cách hồn nhiên. Thêm nữa, tuy lôgích học hình thức không dùng đến khái niệm vô tận, nó không cần và không thể xác định con số hữu hạn của những ký hiệu là bao nhiêu. Trong bài này xin dùng thuật ngữ "thế giới diễn ngôn" để chỉ tập hợp tất cả các mệnh đề đúng cú pháp viết bằng các ký hiệu lôgích và toán học, trong một lý thuyết tiên đề - diễn dịch. Đây quả thực là một ngôn ngữ có tính hệ thống tuyệt đối, không quá khứ, như đã nói ở đầu bài.

Giai đoạn thứ hai: với những chuỗi ký hiệu, mà sự vận dụng theo lôgích chỉ cần cái trực giác hồn nhiên nói trên, không những người ta xây dựng được trongthuyết tập hợp tiên đề hoá những tập hợp có vô tận phần tử, mà còn xây dựng được nhiều loại vô tận khác nhau, cái vô tận "đếm được", và cái vô tận liên tục. Những tập hợp vô tận này là khởi đầu của việc "xây dựng" được những lý thuyết toán học đáp ứng được việc mô hình hoá không gian, thời gian... và những quy luật vật lý. Thực ra những lý thuyết này đã có từ trước, hoặc được sáng tạo theo nhu cầu áp dụng, hoặc như những sáng tạo trừu tượng đi trước yêu cầu; chữ "xây dựng" viết ở đoạn trên, do đó, chỉ có nghĩa là củng cố chặt chẽ về mặt lý luận mà thôi.

2.1. Chữ "không" trong Luận lý học hình thức

Thuyết tập hợp hồn nhiên chỉ là sự phát biểu lại những nguyên tắc lý luận đã có từ cổ đại, theo một cách khác. Thí dụ tam đoạn luận nổi tiếng : "làm người ai cũng phải chết, Socrate là người, vậy Socrate cũng phải chết", có thể được phát biểu như sau : "Tập hợp người nằm trong tập hợp những thực thể sẽ phải chết, Socrate là một phần tử của tập hợp người, vậy thì Socrate cũng có trong tập hợp những thực thể sẽ phải chết". Như thế mọi lý luận được đưa về một loại quan hệ độc nhất : quan hệ "có trong" giữa một phần tử và một tập hợp. Một quan hệ phái sinh rất thuận tiện, định nghĩa được từ quan hệ đầu, là quan hệ "nằm trong" giữa hai tập hợp.

Đó chỉ là một cách nhìn, nhưng cách nhìn này đưa đến nhiều thuận lợi:

• Viết ra được những ký hiệu ngắn gọn: thí dụ (phần tử a có trong tập hợp A), (tập hợp B nằm trong tập hợp A)...
• Xác định được rõ ràng ý nghĩa của những khái niệm lôgích căn bản : phủ định, hay, và, dẫn đến...
• Tránh được những nghịch lý do sự thiếu chặt chẽ của những lý luận bằng ngôn ngữ tự nhiên đưa đến,
• Và sau cùng, ở thời đại chúng ta không thể không nhấn mạnh : những thao tác trên các ký hiệu do đó hoàn toàn có thể tự động hoá được. Khả năng này được sử dụng đại trà trong các máy tính điện tử dưới nhiều hình thức.

Thí dụ chuỗi ký hiệu : được đọc như sau : điều kiện cần và đủ (xem ký hiệu 1) để B nằm trong A là, với bất cứ phần tử x nào (xem ký hiệu 2), nếu x có trong B thì x cũng có trong A (xem ký hiệu 3). Bằng một một số rất nhỏ các thao tác hoàn toàn máy móc để thay đổi các ký hiệu, người ta (hay máy tính) có thể "nhắm mắt" viết chuỗi ký hiệu: ; đọc như sau : điều kiện cần và đủ để B không nằm trong A (xem ký hiệu 7) là có một phần tử a (xem các ký hiệu 4 và 5), có trong B và (xem ký hiệu 8) không có trong A (xem ký hiệu 6). Xin xem giải thích của các ký hiệu trong khung đi kèm dưới đây, trong đó hàm không(...) là hàm phủ định tổng quát của lôgích.

Ngay ở đây ta thấy có hai chữ "không" khác nhau. Đoạn trên là một thí dụ về chữ không trong tính toán lôgích. Chữ "không" thứ hai ta gặp khi đem áp dụng lôgích trong đời thường. Phủ định trong đời thường là phủ định của một tính chất nào đó của một sự vật (hay tập hợp sự vật) nào đó, "xe của ông Nguyễn màu đen" là một mệnh đề, và phủ định của mệnh đề đó là : "xe của ông Nguyễn không phải màu đen". Như vậy lôgích hình thức là một phép lý luận tổng quát dựa trên việc biến đổi các chuỗi ký hiệu trừu tượng một cách máy móc; và lý luận bằng ngôn ngữ trong đời thường là nói về tính chất của các sự vật cụ thể trong đời thường. Ở giữa hai bên là thao tác mô hình hoá, đi từ cụ thể đến trừu tượng, và thao tác diễn tả, đi từ trừu tượng đến cụ thể.

Thí dụ câu nói P : "Có một chiếc tải xe màu đen do hãng Ford sản xuất". P đúng hay sai ? Có hai cách để có câu trả lời. Một là điểm qua tất cả các xe có trên đời này, điều trên nguyên tắc làm được, vì số xe ấy hữu hạn. Hai là tin tưởng vào một đặc tính nào đó phổ quát hơn, và suy ra kết luận trên, thí dụ : hãng Ford làm đủ mọi loại xe, mỗi loại xe của hãng Ford đều một nửa là màu đen; cách này cho phép suy luận nhanh hơn, nhưng phức tạp hơn, và để chế ngự cái phức tạp thì việc áp dụng những mô hình lôgích là có ích.

Không thể làm cách thứ nhất với những tập hợp vô tận, vậy để áp dụng lôgích hình thức, cần có những mệnh đề tiên thiên được chấp nhận là đúng, nói đơn giản là muốn có kết luận đúng thì cần lý luận chặt chẽ và khởi đi từ những điều đúng; thêm nữa những mệnh đề tiên thiên đó phải không mâu thuẫn với nhau ¹². Chúng được gọi là những tiên đề (axiomes). Thuyết tập hợp tiên đề hoá cũng là một hệ thống tiên đề, được mở rộng ¹³ từ lôgích hình thức hồn nhiên, và một lý thuyết toán học là một hệ thống tiên đề được mở rộng từ thuyết tập hợp tiên đề hoá. Khi tất cả được quy về tiên đề thì miền áp dụng của lôgích không cần thiết phải hữu hạn, vì chỉ cần suy luận bằng cách biến đổi các mệnh đề, không bao giờ cần "điểm qua tất cả những sự vật" nữa.

Người ta yêu cầu tiên đề sau đây được chấp nhận: có một tập hợp không chứa một phần tử nào cả. Nói cách khác, khái niệm về "cái không" là khái niệm có thực. Người ta gọi nó làtập hợp rỗng (ensemble vide), và viết bằng ký hiệu Ø. Ø có trong thế giới diễn ngôn nhưng không biểu thị cái gì trong đời thường, nó là một cái hộp rỗng không, cái hộp ấy có thực.

Tại sao phải như thế ? người ta cần viết ra và suy luận một cách tự nhiên trên những mệnh đề rất giản dị như "những xe tải do hãng Ford sản xuất", đó là một tập hợp gồm những xe vừa là xe tải vừa là xe do hãng Ford sản xuất; tập hợp đó có thể chứa một số xe nhất định, cũng như không chứa một cái xe nào; nhưng, trước khi tìm hiểu và suy luận, người ta không biết rõ điều ấy. Vì vậy cần thiết gán cho "cái không" vai trò của một tập hợp, nghĩa là cũng có thể được thao tác như mọi tập hợp khác.

Có thể nói bằng lạm dụng ngôn từ là "ở trong tập hợp rỗng chỉ có hư vô", theo nghĩa không có gì trong thế giới thực tương ứng với hư vô: thời gian, không gian, màu sắc... đều không liên hệ gì với hư vô. Hư vô không phải là một khái niệm khoa học, nó khác với "chân không" mà ta sẽ bàn kỹ hơn sau, nhưng sự không phân biệt rõ ràng hai khái niệm này là nguồn gốc của một số lý luận sai lầm, ngay cả từ Descartes (1569-1650) và Leibniz¹⁴ (1646-1716).

2.2. Sơ lược về thuyết tập hợp tiên đề hoá, hạt nhân của thế giới toán-lý

Như đã trình bày ở trên, thế giới các thực thể (entité) toán học phải là một thế giới có vô tận phần tử, trong khi thế giới diễn ngôn toán học là hữu hạn. Để cho thực rõ ràng xin hình dung một "siêu thế giới" gồm bốn tầng "thế giới": tầng dưới cùng là thế giới hiện thực; hai tầng giữa là thế giới (vô tận) của các thực thể và cấu trúc toán học (xin gọi tắt là thế giới toán) bên trên, và thế giới vật lý học bên dưới, dùng toán học như một công cụ để mô hình hoá những sự vật và hiện tượng trong thế giới hiện thực (xin gọi chung cả hai tầng này là thế giới toán-lý); tầng trên cùng là thế giới hữu hạn của diễn ngôn toán học (xin gọi tắt là thế giới diễn ngôn toán, bao gồm thế giới diễn ngôn lôgích).

Bảng A tóm tắt các "thế giới" khác nhau của khoa học luận, mà sự hình thành có thể mường tượng như những vòng xoáy ốc theo trục nằm ngang, đi từ hiện thực (cụ thể) đến mô hình (trừu tượng) rồi trở về hiện thực... đồng thời phát triển rộng hơn và phức tạp hơn với thời gian theo hướng từ trái sang phải. Vòng xoáy giữa cụ thể và trừu tượng này là một vận động không ngừng của trí tuệ loài người, có thể giản lược thành ba giai đoạn lớn : thời tiền sử bắt đầu với sự xuất hiện của ngôn ngữ, rồi tới thời bùng nổ tư duy, từ khoảng một thiên niên kỷ trước công nguyên cho tới khi xuất hiện khoa học hiện đại, và cuối cùng là thời đại khoa học, từ đầu thế kỷ 17 cho tới nay:

Bảng A: Mô hình hoá và hiện thực Thế giới toán có vô tận tập hợp, và có những tập hợp có vô tận phần tử, do đó không còn có thể tin tưởng vào sự đồng thuận giữa trực giác của mọi người để xác định một thực thể toán học là có trong hay không có trong một tập hợp (đồng nghĩa với việc nó mang một đặc tính nào đó). Người ta chỉ còn cách duy nhất là dựa trên nguyên lý sau : nếu một mệnh đề lôgích nào suy ra được từ các tiên đề của một lý thuyết toán thì mệnh đề đó là đúng. Việc chỉ cần lý luận trên các tiên đề cho phép người ta đồng thuận trên các kết quả đạt được mà không cần cùng nhau kiểm qua tất cả các sự vật trong một thế giới có thể vô tận. Dĩ nhiên nói chung phần lớn các tiên đề đã được đúc kết từ những tính chất hiển nhiên trong thế giới hữu hạn, mà dưới đây ta sẽ xem vài thí dụ.

• Tiên đề tập hợp rỗng : Có một tập hợp rỗng, không chứa một phần tử nào ¹⁵.
• Tiên đề ngoại diên – axiome d'extensionnalité yêu cầu rằng : nếu hai tập hợp có cùng những phần tử như nhau thì hai tập hợp đó là một. Tiên đề này cũng có hậu quả là mọi phần tử của tập hợp đều phân biệt được với nhau.
• Tiên đề có đôi – axiome de la paire : nếu có a và có b thì cũng có tập hợp {a,b} chứa cả a lẫn b và không chứa gì khác. (Xin dùng "{" và "}" để chỉ một tập hợp với các phần tử bên trong).
• Tiên đề gộp lại được – axiome de la réunion : với bất cứ hai tập hợp bất kỳ nào cũng có một tập hợp mà những phần tử của nó gồm, và chỉ gồm, các phần tử của hai tập hợp đầu.

Tới đây ta thử xem, với 4 tiên đề vừa liệt kê, thế giới toán đã có thể chứa những gì ?

• Trước hết thế giới toán có ít nhất một thành viên : đó là tập hợp rỗng Ø (bây giờ ta đặt tên cho nó là số không), Ø ≡ 0 (ký hiệu ≡ có nghĩa hai vế phải trái là hai tên khác nhau của cùng một thứ)
• Sau đó : có một tập hợp {Ø} (tên của nó là số một), đó là trường hợp đặc biệt của tiên đề có đôi, khi cả a và b đều là Ø, khi đó theo tiên đề ngoại diên thì {Ø} chỉ có 1 phần tử. Số một là tên của tập hợp chứa số không, 1 ≡ {Ø} ≡ {0}.
• Vậy, lại theo tiên đề có đôi, có một tập hợp {Ø, {Ø}} ≡ {0,1}, chứa hai phần tử : số không và số một. Tên của nó là số hai. Như thế cũng lại có thêm một tập hợp nữa chứa số một và số hai {1,2}.
• Bây giờ sử dụng tiên đề gộp lại được với {1,2} và {0}, ta có một tập hợp chứa ba phần tử, là số không, số một và số hai. Tên nó là số ba.

Tới đây ta nhận ra bằng cách nào các nhà luận lý học đã định nghĩa được các con số không, số một, số hai, ba, bốn... tới lớn bao nhiêu cũng được ¹⁶.Trong khuôn khổ bài này không thể trình bày tiếp tục làm thế nào, và với những tiên đề phụ trội cần thiết nào, người ta đã thiết lập được một thế giới toán có khả năng mô hình hoá những bài toán đơn giản của đời thường, như số phân, số lẻ, số âm... vòng tròn, đường thẳng... và cả những thực thể vật lý rất phức tạp như những không gian có nhiều chiều, những không gian "cong"... Thế giới toán đó đầy đặc vô tận những phần tử và những tập hợp, trong đó có một "cái không" duy nhất tên là Ø. Một miền của không gian vectơ toán học ba chiều có thể dùng để làm mô hình cho một khoảng không gian vật lý trong đó người ta có thể tin là "không có thực thể vật chất nào". Điều này đúng hay không đúng đều có nghĩa, nhưng miền không gian vectơ toán học tương ứng với khoảng không gian vật lý ấy chứa vô tận và đầy đặc những điểm toạ độ, thực sự là có trong thế giới toán.

2.3. Con số không trong Toán học

Toán học là một ngôn ngữ công cụ dùng để viết ra những quy luật vật lý. Nhưng nếu chỉ có thế thì vẫn còn hoàn toàn trừu tượng, "chân vẫn chưa chạm đất"; việc áp dụng toán học vào đời sống cuối cùng phải thoả mãn hai yêu cầu, thứ nhất là để trực tiếp biết về một đại lượng nào đó của một sự vật nào đó qua đo lường, thí dụ như chiều dài, chiều rộng, chiều cao, của một bể nước hình khối vuông góc ; yêu cầu thứ hai cũng là để biết, một cách gián tiếp, về một đại lượng nào đó qua tính toán từ những đại lượng đo lường được, bằng cách dùng những công thức vật lý thích hợp, thí dụ như để tính toán xem bể nước ấy chứa được bao nhiêu nước, bằng cách tính thể tích của nó qua phép tính nhân ba cạnh của bể nước với nhau.

Trong vai trò đo lường, con số không không có ý nghĩa gì đặc biệt. Nó chỉ là cái mốc được chọn theo quy ước. Khi một đầu của chiều ngang (chẳng hạn) được áp vào vạch không của cái thước thì ở đầu kia người ta đọc được ngay giá trị của chiều ngang của bể nước.

Trong vai trò tính toán thì con số không quả có những "ứng xử" khác các con số khác. Trong tính cộng thì nó là một phần tử trung lập : a + 0 = a, và a - a = 0 ; ở đây vai trò "tập hợp rỗng" vẫn tồn tại, nhưng hơi khác với khái niệm rất tổng quát "rỗng tức là không chứa gì cả" của ngôn ngữ lôgích học. Khi đem toán học áp dụng trên thế giới hiện thực, thì tuỳ khung cảnh áp dụng mà số không mô hình hoá một cái "không có" cụ thể hơn. Nếu a (khác 0) có thể là ba hay là bảy hòn sỏi thì 0 bây giờ là "không có hòn sỏi nào". Trong tính nhân ta lại có a*0 = 0. Vì a*x là sự mô hình hoá "x lần a", nên với bất kỳ đại lượng a nào, 0 lần a cũng là không.

Nhưng điều cần để ý ở đây là : nhìn trên khía cạnh thao tác trong diễn ngôn toán thì chỉ cần định nghĩa +0 và *0 như hai hàm số đặc biệt, có các tính chất nói trên. Định nghĩa này vì độc lập với mọi áp dụng, nên không thể và không cần diễn tả ý nghĩa cụ thể của nó, ý nghĩa cụ thể chỉ có khi đem toán học áp dụng vào những trường hợp cụ thể.

Cũng không thể quên vai trò của con số không trong việc hình thành hệ thống đếm thập phân. Những công trình khảo cổ cho biết có khả năng lớn là cách đếm thập phân như hiện nay chúng ta dùng đến từ Ấn Độ, niên đại vào khoảng năm -300. Trước đó, một nền văn minh vĩ đại như nền văn minh Babylone cũng đã đến gần thành công này từ khoảng -1800, nhưng không có được bước nhảy quyết định: họ có một hệ thống đếm theo cơ số 60 (một lần 10 và một lần 6), nhưng thật kỳ lạ: thay vì sáng tạo ra số không, họ chỉ để trống một khoảng cách. Người Hy Lạp cổ đại, với nền khoa học và triết học sâu sắc đồ sộ là thế, cũng không có số không. Người Trung Quốc với bàn toán tiện lợi một cách thần kỳ, cũng vậy.

Tại sao sáng tạo số không khó khăn như thế ? Hiển nhiên là vào thời cổ đại ký hiệu chỉ được dùng để đại biểu cho những gì có thực trong đời thường, không có một ký hiệu nào đại diện cho cái "không có gì" vì ngay cả cái "không có gì" cũng là cái không ai nghĩ tới.

3. "Chân không" trong Vật lý học

3.1. Truyền thống Hy Lạp

Có thể định nghĩa "chân không" ¹⁷ là đặc tính của một vùng không gian nào đó, mà trong đó tuyệt đối "không có gì". Tại Hy Lạp cổ đại, hai bậc thầy vĩ đại là Platon và Aristote đều coi là "không có cái chân không", "tự nhiên ghê tởm chân không"... cái chân không là không thể hiện hữu, quan niệm này thoát thai từ nhận định về vật chất, mỗi sự vật trong tự nhiên kể cả khí trời là bao gồm các thể chất (substance) liên tục, có thể rất cứng rắn hoặc rất mềm dẻo, chia nhỏ được mãi mãi, và ở vùng nào trong không gian cũng phải có một thể chất nào đó. Điều này đi ngược hẳn lại quan điểm của Leucipe và Democrite: sự vật do các nguyên tử cấu thành, nguyên tử, theo định nghĩa là rời rạc, tuyệt đối cứng rắn, không thể chia cắt, vậy để vật chất có thể biến chuyển được thì các nguyên tử phải chìm trong một môi trường "không có gì". Cho nên trường phái nguyên tử cũng chủ trương có chân không. Hai luồng tư tưởng hoàn toàn tư biện và hoàn toàn trái ngược nhau này tranh luận tự do, nhưng rồi tới thời Trung cổ thì ý tưởng nguyên tử rơi vào quên lãng trong vòng hơn một nghìn năm, cùng với nó là khái niệm chân không.

3.2. Từ Galilei tới Newton

Đó là thời kỳ trước cuộc cách mạng khoa học mà người mở đường tiêu biểu là Galilei. Galilei cho rằng sự ghê tởm chân không của tự nhiên là có giới hạn, và giới hạn đó có thể đo được bằng một cột nước cao khoảng 10 m, quy luật này do ông phát hiện khi quan sát hiện tượng những máy hút nước bằng pít-tông không thể hút nước cao hơn thế, vì khi đó trong pít-tông tự nhiên hiện ra một khoảng "chân không" ở bên trên cột nước. Người thư ký của Galilei, Torricelli (1608-1647) năm 1643 nảy ra sáng kiến dùng cột thuỷ ngân thay cho cột nước, và thấy rằng sau khi tạo ra chân không thì áp suất của cột nước và cột thuỷ ngân ngang nhau. Ông giải thích chiều cao của cột thuỷ ngân bằng sức đẩy thuỷ ngân lên cao do sức ép của không khí trong khí quyển (đặt cơ sở cho phong vũ biểu Torricelli). Khái niệm "tự nhiên ghê tởm chân không, nhưng có giới hạn" hay khái niệm "sức hút của chân không" không còn cần thiết nữa, chân không là một trạng thái bình thường của tự nhiên, cũng như vật chất. Thuyết của Torricelli được Pascal (1623-1662) chứng minh hùng hồn bằng cuộc thí nghiệm nổi tiếng năm 1648 khi đo nhiều lần áp suất khí quyển từ dưới chân núi Puy de Dôme lên đến trên cao. Từ đó phe "bình thường hoá chân không" bắt đầu thắng thế, nhưng cuộc tranh luận với phe "chân không = hư vô = không thể hiện hữu" còn tiếp tục lâu dài, như chúng ta đã thấy với Descartes và Leibniz ¹⁴.

Phải đến Newton (1642-1727) với quy luật vạn vật hấp dẫn thì trong thế kỷ thứ 18 mới hình thành một mô hình vũ trụ hoàn chỉnh trong đó vật chất quy tụ thành các ngôi sao, mặt trời và các hành tinh vận động trong một không gian cố định, vô tận, trống rỗng, và nhất là đo đạc được trong hệ thống toạ độ của Descartes. Ngoài những khoảng không gian chứa vật chất là chân không. Như vậy, phía ngoài trái đất, và bầu khí quyển bao bọc nó, chủ yếu là chân không.Mô hình này, do sự hoàn chỉnh của nó, được đánh đồng với thế giới hiện thực một cách vô thức, vũ trụ là như thế.

Thế nhưng, nếu theo đúng định nghĩa "chân không" là cái nằm trong một khoảng không gian trong đó "không có gì cả", thì phải đặt câu hỏi : vậy trong vũ trụ chỉ có vật chất thôi sao ? Trong các thế kỷ 17 và 18 các bác học khi khảo sát thế giới vật chất đã gặp những khái niệm / hiện tượng không dễ quy về vật chất một cách hiển nhiên, nếu không muốn nói là hiển nhiên không quy về vật chất được : ánh sáng và năng lượng. Cho nên nếu người ta vẫn chấp nhận khái niệm chân không là rất hữu ích để quan niệm về một môi trường "có trước", như một sân khấu trong đó có vật chất vận động cũng như có ánh sáng truyền qua, thì cũng không thể nói dứt khoát một khoảng không gian trong đời thường là "không có gì cả" khi nó không chứa vật chất. Newton cho rằng ánh sáng cũng là một thứ hạt tương tự như vật chất; Huyghens lại cho rằng ánh sáng là sóng, và tương tự như sóng nước hay sóng âm thanh, nó không có bản chất riêng, mà chỉ là dao động của môi trường, do đó vũ trụ phải chìm trong một chất gọi là ête (éther), môi trường qua đó ánh sáng được truyền đi.

3.3. Khủng hoảng

Vấn đề còn để ngỏ cho đến đầu thế kỷ 19 khi những nghiên cứu về ánh sáng của Young và Fresnel, kế thừa những công trình của Huyghens, giải thích được gần như toàn bộ các hiện tượng của ánh sáng. Trong thế kỷ 19 trường phái ête thắng thế, và như vậy không hề có "chân không". Nhưng ête vẫn là một cái gì rất lạ kỳ, vừa tuyệt đối "trong suốt", hoàn toàn không cản trở sự vận động của vật chất, vừa phải tuyệt đối "cứng rắn" để có thể truyền đi "tức thời" và với hiệu suất 100% trọng trường và năng lượng, và không ai làm được một thử nghiệm nào có khả năng trực tiếp hay gián tiếp phát hiện ra gì thêm về ête cả.

Đến cuối thể kỷ 19, Maxwell thiết lập một phương trình truyền sóng duy nhất cho điện từ và cho ánh sáng, vừa thống nhất hai hiện tượng này, vừa cho thấy đây là một hình thức sóng mới, có thể được mô tả một cách hoàn toàn độc lập với mọi môi giới. Tiếp theo đó là thí nghiệm của Michelson nhằm tìm ête qua chuyển động của trái đất, mà kết quả là phủ định : vận tốc ánh sáng không thay đổi, dù được đo theo chiều chuyển động của trái đất hay ngược lại; trong khi nếu ánh sáng cần ête để truyền đi, và nếu trái đất bay quanh mặt trời trong vũ trụ thì đáng nhẽ kết quả phải khác, theo những nguyên lý của Newton.

Khủng hoảng. Và như chúng ta đã biết, đầu thế kỷ 20 hai lý thuyết vật lý mới đã xuất hiện, mang lại những giải thích thoả đáng cho rất nhiều hiện tượng mà trước nay chưa giải thích được, do đó cũng mang lại rất nhiều ứng dụng hiệu quả trong đời sống... Đó là TTĐ và CHLT mà chắc độc giả đã quen thuộc với các khái niệm ¹⁸. Riêng về khái niệm chân không, hai thuyết này không thống nhất.

3.4. Einstein và Thuyết tương đối

TTĐ ràng buộc thời gian, không gian và vật chất với nhau trong một mô hình toán học theo đó cấu trúc của vũ trụ ở mỗi điểm cục bộ có thể được mô tả gần đúng như một không gian ba chiều cổ điển, với chiều thứ tư là thời gian, nhưng toàn bộ vũ trụ thì không còn có thể được mô hình hoá với không gian ba chiều độc lập với thời gian nữa. Thời gian phụ thuộc vào vị trí và vận tốc của người (hay thiết bị quan sát) đang chuyển động, và không gian thì bị "uốn cong" theo sự hiện diện của các vật thể trong vũ trụ. TTĐ có hai bước phát triển :

TTĐ hẹp khởi đi từ hai tiên đề : 1) tính tương đối của các hệ quy chiếu chuyển động thẳng đều với nhau – với ý nghĩa chính xác của chữ "tương đối" là các quy luật vật lý phải hoàn toàn như nhau trong các hệ quy chiếu này – và 2) vận tốc ánh sáng là hằng số trong tất cả các hệ quy chiếu ¹⁹. Từ đó suy ra công thức chuyển hoá vật chất - năng lượng E = mc² lừng danh, và phát hiện không gian cũng như thời gian đều không tuyệt đối ²⁰. Không gian và thời gian trở nên không độc lập với nhau, mà chỉ tồn tại như một dạng hợp nhất mô tả được bằng không-thời-gian của Minkowski ²¹. Nhưng TTĐ hẹp vẫn giữ một không-thời-gian Minkowski phẳng, nó là một tiệm cận gần đúng của TTĐ rộng trong trường hợp trọng trường rất nhỏ như tại những nơi trong vũ trụ cách xa các thiên thể, hoặc trong các bài toán mà hấp lực của trọng trường là không đáng kể so với các lực khác.

TTĐ rộng "mở rộng" TTĐ hẹp theo nghĩa thuyết này khẳng định tính tương đối (vẫn theo nghĩa trên) của các hệ quy chiếu chuyển động bất kỳ. Để viết ra được những quy luật vật lý thống nhất trong mọi hệ quy chiếu như thế, Einstein đã phải nghiên cứu và tự mình phát triển toán học trong nhiều năm, cuối cùng ông đã đi tới một mô hình vũ trụ theo hình học phi Euclide kiểu Riemann. Chúng ta đã biết hình học trên bề mặt trái đất không phải là hình học phẳng mà là một hình học của bề mặt hình cầu có độ cong, mặt phẳng chỉ là tiệm cận của mặt cầu khi độ cong không đáng kể. Tương tự như vậy, trong vũ trụ của TTĐ rộng, thế giới cục bộ được diễn tả một cách tiệm cận như không-thời-gian bốn chiều Minkowski, nhưng khi nhìn tổng thể thì không-thời-gian của vũ trụ có độ cong, và lực hấp dẫn vũ trụ của Newton không gì khác hơn là độ cong của không-thời-gian theo hình học Riemann nói trên, và bài toán cơ học rốt cục được chuyển thành bài toán hình học thuần túy.

Để dễ tưởng tượng ta giả thử không gian chỉ có hai chiều thôi, như thế ở mỗi lúc không gian đó như một bề mặt không bằng phẳng có các khối lượng (dẹp, vì hai chiều) và khoảng trống, có đồi núi và lũng sâu, nơi mật độ vật chất càng cao thì bề mặt càng lún sâu, hình dạng của bề mặt không cố định với thời gian mà liên tục trồi lên sụt xuống, uốn lượn, cùng với sự di chuyển của các khối lượng. Trong "không gian" đó có một con đường ngắn nhất giữa hai điểm nhất định, gọi là đường trắc địa (ligne géodésique) – đó là cái tương đương với đường thẳng nhưng không phải là đường thẳng vì ta giả định không gian hai chiều nên nó phải được vẽ lên bề mặt cao thấp quanh co – và nếu không có lực nào tác động lên nó, mọi vật đều sẽ đi theo một đường trắc địa. Với không gian "cong" ba chiều cũng thế, ta có thể tưởng tượng một vùng không gian ở đó trọng trường rất mạnh so với khoảng không gian xa hơn, thì đấy là một "lũng sâu" trên "bề mặt ba chiều" của không gian cong; và "đỉnh đồi" là một nơi mà trọng trường bằng không.

TTĐ giải quyết sự chuyển động của sóng điện từ (bao gồm ánh sáng) như là chạy theo một đường trắc địa một cách tự nhiên, không cần môi trường nào khác. TTĐ cũng giải quyết bản chất của năng lượng vì vật chất là năng lượng, và khi vật chất phát ra sóng điện từ thì nó cũng nhẹ bớt, sóng điện từ không có trọng lượng nhưng có năng lượng do vật chất mất đi chuyển hoá thành. Vậy có thể nói trong TTĐ vẫn có chân không, đó là một khoảng không "tối đen" không có sóng điện từ, vì ngoài vật chất và sóng điện từ ra thì "không có gì khác", TTĐ đã giữ lại chân không của vật lý Newton và còn thuần khiết hoá bằng cách giải quyết hai vướng mắc cơ bản như đã nói trên.

TTĐ khi áp dụng trong tầm vĩ mô của vũ trụ (và cả tầm trung mô của các vật thể ở tầm con người nhận thức được) là rất chính xác, vì ở kích cỡ đó lực hấp dẫn vũ trụ là quan trọng nhất, và cho đến nay không có phản nghiệm (réfutation, theo nghĩa của Popper) nào. Không-thời-gian của mô hình tính toán trong TTĐ có thể được đồng hoá với không-thời-gian đời thường một cách (rất) gần đúng ở kích cỡ cục bộ vi mô và trung mô, vì cũng chỉ có bốn chiều cơ bản, vận động trong đó là sóng điện từ và vật chất. Nhưng xin nhấn mạnh, không-thời-gian không "có trước", hay độc lập, với vật chất. Tất cả là một thể thống nhất, nếu không có vật chất thì cũng không có không-thời-gian.

3.5. Cơ học lượng tử

CHLT được áp dụng một cách rộng khắp và rất chính xác cho những vật thể có kích cỡ vi mô, "hạ nguyên tử" (và hiện nay có thể lên đến kích cỡ phân tử), tuy nhiên như thế không có nghĩa ảnh hưởng của nó không có gì trên kích cỡ lớn hơn. Ngược lại, CHLT là cơ sở lý thuyết để hiểu sâu sắc hơn ngành hoá học và khoa học vật liệu, từ đó đã nảy sinh một cuộc cách mạng kỹ thuật từ nửa sau thế kỷ 20 cho đến nay, với bán dẫn, sợi quang học, lade, mạch tổ hợp ngày càng nhỏ với khả năng tính toán ngày càng lớn... như ta đã biết.

Ở kích cỡ hạ nguyên tử thì lực vạn vật hấp dẫn là rất nhỏ so với ba loại lực khác mà người ta đã phát hiện là lực điện từ (10⁴² lần mạnh hơn, lực duy nhất đo được ở kích cỡ đời thường), lực tương tác yếu và lực tương tác mạnh, hai lực này chỉ có ý nghĩa bên trong hạt nhân các nguyên tử, và ở kích cỡ đó đến lượt lực điện từ cũng trở thành không đáng kể. Sự khác biệt về kích cỡ này giải thích một phần nào những khó khăn nếu người ta muốn thực hiện một thí nghiệm có cả vai trò của TTĐ rộng lẫn CHLT. Khi người ta muốn đo một cách có ý nghĩa các lực điện từ, lực tương tác yếu và mạnh thì chỉ có thể coi trọng trường bằng không, nghĩa là làm mô hình tính toán trong một không-thời-gian "phẳng". Có lẽ phần nào vì thế mà đứng về mặt lý thuyết hiện nay người ta mới chỉ kết hợp được CHLT và TTĐ hẹp. Kết hợp này vừa rất cần thiết vừa được thực nghiệm hỗ trợ, vì các hạt lượng tử có thể xuất hiện với vận tốc rất cao. Những nghiên cứu cơ bản của vật lý và toán học hiện nay là nhằm thống nhất vật lý lượng tử và TTĐ rộng.

Cũng như những thí nghiệm vật lý khác, một thí nghiệm CHLT là một tình huống khách quan trong đời thường mà những nhiễu loạn ngoài ý muốn được thanh lọc (điều kiện để thí nghiệm có thể được lập lại). Người ta phải xác định rõ tình huống thí nghiệm một cách rất tổng thể ở điểm khởi đầu, mà những tham số được đem vào mô hình tính toán, sau đó kiểm nghiệm kết quả bằng đo lường trong một khung cảnh cũng được xác định rõ một cách tổng thể. Tuy nhiên, thí nghiệm CHLT có một số đặc điểm rất khác với các thí nghiệm cổ điển, đó là :

• Sự phân bố lượng tử trong thời gian và không gian ở điểm khởi đầu và điểm kết thúc của thí nghiệm đều chỉ có thể là một sự phân bố có tính xác suất. Ở giữa hai thời điểm đó là sự vận động thuần tuý trong mô hình, một cách tất định, của sóng xác suất, và trong mô hình chỉ có sóng xác suất. Một trong những kết quả của phương trình sóng của CHLT (phương trình Schrödinger, được Dirac mở rộng cho TTĐ hẹp) có nghĩa như sau : bình phương của biên độ sóng ở một điểm trong không gian là xác suất xuất hiện của lượng tử ở điểm đó. Đây là nguyên uỷ của sự diễn tả lượng tử như có lưỡng tính hạt và sóng.
• Trong cơ học cổ điển người ta không nghi ngờ gì về khả năng có thể phóng chiếu một cách liên tục mô hình của vũ trụ vào vũ trụ của đời thường (và ngược lại). Giả thử hai thí nghiệm được chuẩn bị với tình huống khởi đầu giống nhau ở thời điểm T₀. Ở lần thí nghiệm đầu kết quả được đo vào thời điểm T₂ là A. Trong thí nghiệm thứ nhì người ta ta đo một kết quả trung gian ở thời điểm T₁ với T₀ < T₁ < T₂ , và sau đó kết quả đo được tại T₂ là A'. Trong vật lý cổ điển (kể cả TTĐ) hai kết quả A và A' rất gần nhau, có thể coi sự khác biệt là không đáng kể, do những sai số của điều kiện thí nghiệm và sự nhiễu loạn do đo lường ở thời điểm T₁. Trong CHLT thì không như thế. Không phải chỉ vì sự nhiễu loạn do đo lường là rất mạnh trên lượng tử, mà còn vì những lý do khác sâu sắc hơn ²². Hai thí nghiệm là hoàn toàn khác nhau, có khi một bên làm tỏ rõ tính chất hạt, và một bên làm tỏ rõ tính chất sóng. Trong CHLT không có sự phóng chiếu liên tục giữa mô hình và hiện thực, không (chưa ?) thể nói lượng tử là gì trong khoảng thời gian giữa hai đo lường, ngoài việc có thể tính toán với nó để tiên đoán những kết quả đo lường ở những thời điểm rời rạc. Mà kỳ lạ thay, những tiên đoán đó lại vô cùng chính xác.
• Mô hình dùng để tính toán trở nên rất phức tạp, khi được phát triển để dung hợp với TTĐ hẹp nó càng phức tạp hơn. Người ta sử dụng những không gian vectơ có vô tận chiều kích (dimensions), sử dụng một lý thuyết "trường lượng tử ", kết quả của sự lượng tử hoá lý thuyết trường cổ điển. Người ta sử dụng hai toán tử mới : "toán tử tạo sinh" (opérateur de création) và "toán tử huỷ diệt" (opérateur d' annihilation) để mô tả những tương tác giữa các lượng tử. Lý thuyết "trường lượng tử" hiện nay là lý thuyết nền tảng của "mô hình chuẩn" trong CHLT, đó là mô hình được sự đồng thuận của các nhà vật lý vì nó bao quát các kết quả lý thuyết và thực nghiệm tốt nhất cho đến nay, để từ đó nghiên cứu xa hơn, và một lý thuyết mới dù sao cũng sẽ phải dung hợp được mô hình chuẩn.

Điểm xuất phát của CHLT là hiện tượng một vật thể chỉ trao đổi năng lượng với bên ngoài qua từng đơn vị tối thiểu E = hλ, trong đó λ là tần số dao động của sóng điện từ mà nó phát ra. Vì h (hằng số planck) rất nhỏ nên trước cuối thế kỷ 19 hiện tượng này không được khám phá. h rất nhỏ nhưng hậu quả thật to lớn : ở tầng tế vi nhất của vật chất người ta gặp sự rời rạc. Cho đến nay sự rời rạc, sự bất định, và sự ngẫu nhiên, được coi là ba tính chất cơ bản của thế giới lượng tử. Xin thêm là công thức E = hλ tự nó đã biểu thị lưỡng tính sóng - hạt của lượng tử, vì tần số là một biểu hiện của sóng, và năng lượng phát ra thành từng gói cố định là biểu hiện của hạt.

Những tiên đề làm nảy sinh CHLT bắt nguồn từ những hiện tượng của đời thường quan sát được ở kích cỡ vi mô, lý thuyết – gồm mô hình tính toán – được sáng tạo để giải thích các hiện tượng đó. Nhưng đến lượt nó các mô hình này đã tiên đoán nhiều vấn đề rất kỳ lạ, rất khó chấp nhận vì đi ngược lại với trực giác con người cũng như với những niềm tin tất định luận đã hằn sâu trong lý trí qua gần ba thế kỷ áp dụng vật lý học cổ điển. Đại đa số nhưng chưa phải tất cả các tiên đoán lần lượt được thực nghiệm khẳng định, với độ chính xác rất cao. Những điều ấy, cộng với việc cần dung hợp TTĐ rộng và CHLT trong một nền vật lý học tương lai ²³, là những chủ đề còn đang được nghiên cứu.

Dòng "bản thể" trong Bảng B muốn nêu ra khung cảnh của những bàn cãi hiện nay về những diễn tả khác nhau của CHLT. Theo cách hiểu chủ quan của người viết bài này, những diễn tả đó là những cố gắng sáng tạo một loại mô hình nằm giữa mô hình lý thuyết dùng để tính toán và những hiện tượng đời thường, một vũ trụ lý tưởng – mà những tham số được dùng trong lý thuyết và thực nghiệm – bao quát mọi hiện tượng của vũ trụ đời thường như sự tiệm cận gần đúng của nó. Một vũ trụ lý tưởng như thế có thể được gọi là bản thể. Khung "bản thể" của mô hình chuẩn hiện nay còn là một màu xám trống rỗng, vì các nhà vật lý tuy đồng ý với nhau khi áp dụng CHLT, chưa đồng ý với nhau về cách "có thể hiểu" một vũ trụ khách quan của CHLT.

Bảng B : Hiện tại và những vấn đề tương lai Những đề nghị khác nhau về bản thể có thể được coi là những ý tưởng gợi hứng cho việc phát triển nghiên cứu khoa học của mỗi trường phái, nhưng dù sao sự phát triển cũng vẫn phải theo phương pháp khoa học, đó là bằng cách lập hệ thống tiên đề diễn dịch, tính toán, và thực nghiệm. Ở trên viết "có thể hiểu" vì lý do đó, vì chỉ "hiểu được" thế nào là bản thể, trong nghĩa một vũ trụ khách quan, khi nó là duy nhất và bao quát mọi hiện tượng. Khi đó với thời gian, với sự trợ giúp của giáo dục, truyền thông, và nhất là của những ứng dụng diệu kỳ có ích cho cuộc sống mỗi người, thì vũ trụ lý tưởng đó do khoa học diễn tả sẽ trở thành vũ trụ đời thường của mọi người. Và chúng ta sẽ trở về một thời hoàng kim như thời hoàng kim của vật lý cổ điển, thời mà người ta không có nghi ngờ gì về bản thể của vũ trụ, "nó là như thế "; không nên quên rằng vũ trụ của Copernic-Galilei-Kepler-Newton đã cần cả thế kỷ để trở thành sự "hiển nhiên" phổ quát. Đây là nói như những người mang niềm tin "có thể hiểu". Có những nhà vật lý học lớn cho rằng vĩnh viễn con người sẽ không hiểu được "bản thể".

Nhưng dù sao đi nữa, ngoài lưỡng tính hạt và sóng, ít nhất có thêm hai hiện tượng chúng ta phải chấp nhận. Một là hiện tượng "không cục bộ" vô cùng nhức nhối, theo đó hai lượng tử được tạo thành từ một biến cố nào đó sẽ "vương vấn" với nhau dù đã xa nhau sau một khoảng thời gian. Vương vấn theo nghĩa nếu ta đo trị số của một đại lượng nào đó của lượng tử thứ nhất – một điều bí hiểm nữa là lượng tử chỉ có trị số đó một cách ngẫu nhiên khi được đo – thì lượng tử thứ hai lập tức sẽ mang một trị số của đại lượng ấy, có tương quan (correlation) mật thiết với trị số thứ nhất (khi được đo). Lập tức ở đây không có nghĩa chúng "thông tin" rất nhanh được cho nhau, mà ở đây cách hiểu giản dị nhất là phải coi chúng như một thực thể duy nhất, tuy chúng vẫn ở hai vị trí khác nhau trong không gian. Hiện tượng này không những đã được kiểm chứng bằng thực nghiệm, mà người ta đã dùng nó trong một thủ thuật truyền tin để bảo đảm bí mật tuyệt đối.

Và hai là "chân không" theo thuyết lượng tử không phải "không có gì". Nó hàm chứa năng lượng ²⁴, mật độ năng lượng của chân không đã được tính toán. Hiệu ứng Casimir là một tiên đoán về tác động có thực của năng lượng này trên vũ trụ đời thường, hiệu ứng này cũng đã được thực nghiệm chứng minh là có. Vậy "chân không" theo CHLT là gì ? xin trích dẫn nhà vật lý học Phạm Xuân Yêm : "Chân không lượng tử được định nghĩa như trạng thái cơ bản tận cùng của vạn vật, nó vô hướng, trung hoà, mang năng lượng cực tiểu trong đó vật chất, tức là tất cả các trường lượng tử, bị loại bỏ hết." ²⁵. Chỉ xin thêm là người ta đã đi đến khái niệm chân không lượng tử sau khi trải qua cả một thời kỳ xây dựng lý thuyết và thực nghiệm để kiểm chứng, nên chỉ có thể nắm bắt được khái niệm này trong toàn bộ khung cảnh của CHLT. Chẳng hạn như việc chân không lượng tử hàm chứa năng lượng chính là một hệ luận của nguyên lý bất định ²⁵.

4. Tạm kết

Tiền nhân nhiều khi có những trực giác kỳ diệu về thế giới và về nhận thức của con người. Trong các triết gia Á Đông hay Tây phương đều có những người như thế. Tuy nhiên nếu nhìn khuynh hướng chung thì có thể nói nhị nguyên là đặc điểm của tư tưởng Tây phương, phân biệt rõ thế giới ý tưởng và hạ giới, từ đó có ảnh hưởng đến sự phát triển của toán học như là ngôn ngữ của tự nhiên. Mặt khác tinh thần khoa học thực nghiệm – đã trở thành một sở hữu tư tưởng của cả loài người từ thế kỷ thứ 17 – là sự kết hợp của tinh thần thực dụng (mà ở đâu cũng có ít hay nhiều trong đời sống thực tế) và tinh thần trọng lý thuyết, vì thực nghiệm là so đọ giữa lý thuyết với quan sát hay đo lường.

Do đó thiển nghĩ định lượng là một yếu tố nội tại của khoa học tự nhiên, kể cả về mặt lý thuyết. Một lý thuyết hay một quan niệm triết học về thực tại, nếu không có yếu tố định lượng thì chỉ có thể gọi là "tiền khoa học" mà thôi. Tiền khoa học ở đây có thể hiểu theo hai nghĩa : đó có thể là một tư tưởng của thời kỳ trước thời kỳ khoa học hiện đại, và đó cũng có thể là một tư tưởng manh nha gợi hứng cho một lý thuyết khoa học chưa hoàn chỉnh vì chưa được mô hình hoá thành ngôn ngữ toán học với các tham số định lượng. Hai nghĩa này không loại trừ nhau. Sự sáng tạo luôn luôn hiếm có và bí ẩn, để sáng tạo một lý thuyết khoa học thì cảm hứng có thể đến từ bất kỳ đâu, kể cả cảm năng thẩm mỹ. Tuy nhiên có lẽ những ý tưởng sáng tạo không đến từ hư vô, những tư tưởng kỳ vĩ và phong phú của các tiền nhân Á Đông cũng như Tây phương là một nguồn cảm hứng lớn cho phép chúng ta hy vọng. Nhưng rồi mọi sự vẫn phải trở thành một lý thuyết vật lý, và với khoa học hiện đại thì lý thuyết đó, vì đã rời xa trực giác, chỉ có thể mang nặng tính hệ thống tiên đề - diễn dịch của luận lý học và toán học.

Lấy hai chữ không và chân không làm thí dụ, chúng ta đã thấy ý nghĩa của chúng, mặc dù thoát thai từ những trực giác đầu tiên của loài người, đã biến chuyển tuỳ theo thời đại. Sự biến chuyển đó có thể nói là do hai nguyên nhân chủ yếu: thứ nhất, học thuật và sáng tạo luôn luôn cần một môi trường tự do tư tưởng, tranh luận hoà bình, có như vậy mới giàu ý tưởng và mới có thể cọ sát những ý tưởng khác nhau rất cơ bản, nảy sinh từ những niềm tin, những nền tảng văn hoá sâu thẳm, của những người thực sự bác học và yêu chân lý. Thứ hai, tư tưởng nào được chấp nhận hay không trong khoa học là tuỳ theo yêu cầu nội tại của khoa học trong từng thời kỳ. Để lấy một thí dụ của thời hiện đại, cuộc tranh luận không nhân nhượng suốt 30 năm về những bí ẩn của lượng tử giữa hai người khổng lồ đồng thời là hai người bạn như Einstein và Bohr, là một tấm gương tuyệt vời về văn hoá khoa học.

Cuối cùng, khi một tư tưởng khoa học tương đồng với những tư tưởng cổ đại thì điều ấy có thể làm cho chúng ta sửng sốt và vui thú, tuy nhiên có lẽ không nên quên rằng những tư tưởng cổ đại đó là những tư tưởng tiền khoa học, mà sự phát triển thành một tư tưởng khoa học được đồng thuận rộng rãi là cả một quá trình gian khổ.

Người viết tiểu luận này xin cảm tạ các nhà khoa học Nguyễn Mai Ninh, Nguyễn Ngọc Giao, Hà Dương Tường, Nguyễn Xuân Xanh và Phạm Xuân Yêm, đã đọc trước bản thảo, khích lệ, và cho những góp ý quý giá. Mọi sai lầm và thiếu sót hoàn toàn thuộc trách nhiệm của tác giả.

Tháng 8.2007

Hà Dương Tuấn

Chuyên gia công nghệ thông tin

Sách tham khảo : (ngoài các trang mạng đã ghi chú)

Dẫn trong bài (theo thứ tự xuất hiện):

Nguyễn Xuân Xanh, Einstein, nxb Tổng Hợp, tp HCM, 2007

Fung Yu Lan, A short story of Chinese philosophy, The free press, NewYork, U.S.A. 1948, 1976.

Đây là bản rút gọn của tác phẩm tiếng Trung Quốc, A History of Chinese philosophy, nxb Princeton university press, 1983. do Derk Bodde lược dịch. Ông cũng là dịch giả nguyên bản đầy đủ mà người viết vì không biết Trung văn nên không thể dẫn bản nguồn. Tác phẩm lớn này có bản dịch tiếng Việt : Phùng Hữu Lan, Lịch sử triết học Trung Quốc, bản dịch của Lê Anh Minh, nxb Khoa học Xã hội, 2007. Trang quy chiếu ở đây do một người bạn tìm hộ.

Maurice Eduard Berthon, Les grands concepts scientifiques et leur évolution, nxb Publication Universitaire, Paris 2000.

Các sách tham khảo khác :

Richard Feynman : La Nature de la physique, nxb Seuil, coll. Points Sciences, Paris 1980, bản dịch tiếng Pháp này tập hợp 7 bài nói chuyện tổng quát về vật lý học cho sinh viên tại đại học Cornell, Hoa Kỳ, 1964; có thêm bài diễn từ nhận giải Nobel.

G. Cohen-Tannoudji & M. Spiro : La matière-espace-temps, nxb Fayard, coll. folio, Paris 1986,1990.

Bertrand Russell : ABC of relativity, nxb Routledge, 1993 (in lần đầu 1925).

Nhiều tác giả : Demain la physique, nxb Odile Jacob, 2004, tác phẩm phổ biến khoa học do 10 bác học đương đại người Pháp viết, với sự bảo trợ của Hàn lâm viện Khoa học.

Nguyễn Quang Riệu : Vũ trụ, phòng thí nghiệm thiên nhiên vĩ đại, nxb Giáo dục, 1995

Trịnh Xuân Thuận : La mélodie secrète, nxb Fayard, 1988, bản dịch tiếng việt của Phạm Xuân Thiều : Giai điệu bí ẩn. Và con người đã tạo ra vũ trụ, Nxb Khoa học và Kỹ thuật, 2001,

Mathieu Ricard & Trịnh xuân Thuận : Cái vô hạn trong lòng bàn tay, bản dịch của Phạm Văn Thiều & Ngô Vũ, nxb Trẻ - Tia sáng, 2005. Nguyên bản : L'infini dans la paume de la main, nxb Robert Lafont, Paris, 2000. Đối thoại hiếm có giữa một tu sĩ Phật giáo vốn nghiên cứu sinh học và một nhà vật lý thiên văn học thấm nhuần đạo Phật.

Chú thích

1 Xin giới hạn "khoa học tự nhiên" trong nghĩa rất hẹp của ba bộ môn: luận lý học hình thức, toán học và vật lý học.

2 Điều này được biểu lộ rất rõ trong những tranh luận về hiện tượng và bản thể của các nhà khoa học đã đặt nền tảng cho Cơ học lượng tử, thí dụ như để thiết lập "diễn giải Copenhagen"... nhưng đây là một chủ đề khác.

3 Nhân bài này xin đề nghị thay thế từ Đông phương bằng từ Á Đông để nói về vùng văn hoá Hoa-Ấn bằng nguồn gốc địa lý của nó. Nếu Tây phương tương đốikhông mơ hồ là vùng văn hoá gốc Hy Lạp - La Mã, và bây giờ bao gồm cả Hoa Kỳ... thì từ Đông phương (Orient) do "Tây phương" tạo ra và đuợc hiểu rất khác nhau tuỳ văn cảnh.

4 Có một số nhà vật lý học lớn, thí dụ như Eugene Wigner, giải Nobel vật lý 1963, đã từng khẳng định vai trò của ý thức trong sự vận động của vật chất. Nhưng sau khi ông đã nhận ra những sai lầm của mình thì những sai lầm đó vẫn tiếp tục gợi hứng cho nhiều người khác (nhận định đó của Wigner viết năm 1962, và năm 1973 ông đã tự bác bỏ điều ấy).

xem http://philsci-archive.pitt.edu/archive/00001574/01/ReviewOfWigner'sWork.pdf .

5 Đó là hai câu đầu, hai câu sau là : Có, không, trăng đáy nước,/ Đừng mắc có cùng không. Do hoà thượng Thích Thanh Từ dịch từ bài kệ nổi tiếng của Từ Đạo Hạnh :

Tác hữu trần sa hữu

Vi không nhất thiết không.

Hữu không như thủy nguyệt,

Vật trước hữu không không.

Danh nhân phật giáo Việt Nam, Thích Thanh Từ, trích theo trang nhà Quảng Đức :

http://www.quangduc.com/Danhnhanvn/91thiensuvietnam02.html

6 Để có thể có một ý niệm về vấn đề này, xin đọc chương 7, đọc kỹ hai đoạn 11&12 (tr. 174-224), đặc biệt hai trang 190-191 về diễn giải Copenhagen, trong tác phẩm : Einstein, Nguyễn Xuân Xanh, nxb Tổng Hợp, tp HCM, 2007. Đoạn này dài 50 trang, nhưng khó có thể viết sáng rõ hơn mà ngắn như thế. Không có con đường đế vương, dù chỉ để bước đầu nắm bắt vấn đề khoa học cốt lõi này, khi nó là chủ đề tranh luận suốt 30 năm giữa hai người khổng lồ Einstein và Bohr!

7 Học giả Trung Quốc Phùng Hữu Lan (1895-1990) khi bàn về chữ "lý" của Chu Hi (1130-1200), một trong hai bậc thầy của nho giáo (Trình-Chu) trong giai đoạn cuối, cho rằng ông rất gần Platon. Mỗi thực thể trên đời này đều có cái "lý" của nó, và cái "lý" đúng là tinh chất của thực thể, là cái xác định chức năng của nó và quan hệ của nó với các thực thể khác. Tuy nhiên có điểm khác biệt với Platon là Chu Hi coi cái "lý" như một thành tố gắn liền vào bên trong của thực thể, không phải nằm trong một thế giới khác như "thế giới ý tưởng" của Platon. Xem: Phùng Hữu Lan, Lịch sử triết học Trung Quốc, bản dịch của Lê Anh Minh, nxb Khoa học Xã hội, 2007; tập II, tr. 601. Hoặc Fung Yu Lan, A short story of Chinese philosophy, The free press, NewYork, U.S.A. 1948, 1976. pp. 294-303.

8 Nhà khí tượng học Lorenz trong một hội nghị khoa học năm 1972 đã đọc tham luận có tựa là "Về khả năng dự báo : một con bướm vỗ cánh ở Brasil liệu có thể gây nên bão tố ở Texas ?". Sau khi ẩn dụ này bị giới truyền thông hiểu nhầm (tội lỗi của nó là quá đẹp) mặc dù đoạn đầu của cái tựa (ở đây được in đậm), do ban tổ chức hội nghị đặt, là rất rõ, ông đã lên tiếng cải chính nhưng không ăn thua gì, sai lầm có khi lan truyền nhanh hơn sự thật.

xem : http://fr.wikipedia.org/wiki/Effet_papillon

9 Câu hỏi đặt ra là khi đó liệu có đi ngược lại định lý không đầy đủ của Godel ? xin để ngỏ vấn đề, nếu quả thực không-thời-gian là liên tục thì có lẽ như thế, vì một mô hình chứa cái liên tục hiện hữu (infinité réelle), như không gian toán học hiện nay, sẽ chứa những câu hỏi không có trả lời. Nhưng có thể là những câu hỏi loại đó không có liên hệ với hiện thực khách quan. Và biết đâu trong tương lai người ta sẽ không nghĩ rằng không-thời-gian là liên tục nữa ? Xin xem thêm các chú thích 12 và 23.

10 Bước đột phá là những công trình của Cantor (1848-1918). Nhà toán học lớn Hilbert (1862-1943), năm 1925, đã nói : "Không ai có thể đuổi chúng ta ra khỏi thiên đường mà Cantor đã sáng tạo cho chúng ta". Về vô cùng tận hiện hữu và câu trích dẫn này, xin xem: http://en.wikipedia.org/wiki/Actual_infinity

11 Có thể có nhiều thuyết tập hợp tương đương, tuỳ theo sự lựa chọn tiên đề.

12 Định lý thứ hai của Godel cho biết là không thể chứng minh tính không mâu thuẫn của một hệ tiên đề - diễn dịch bằng bản thân nó, nếu nó có vô tận phần tử. Điều này làm phá sản hy vọng có thể xác lập sự tin tưởng tuyệt đối vào toán học qua lý luận, tuy nhiên sự tin tưởng vẫn đến qua những áp dụng rất hiệu quả của toán học. Người ta viết thứ hai để phân biệt với định lý nổi tiếng hơn, thường được gọi là "định lý của Godel" hay "định lý không đầy đủ của Godel", theo đó một hệ như trên luôn luôn hàm chứa những mệnh đề "bất định" (không thể chứng minh được là đúng, cũng không thể chứng minh được là sai). Về lôgích học và định lý Godel có thể xem giáo trình rất hay của John L. Bell : Notes on Formal Logic : http://publish.uwo.ca/~jbell/LNOTES.pdf

13 Ngoài những tiên đề "hồn nhiên" người ta thêm vào những tiên đề khác để bảo đảm thao tác được với khái niệm vô tận.

14 Leibniz là người đã phát biểu rành mạch "nguyên lý lý do đầy đủ (principe de la raison suffisante)", theo đó mọi sự vật đều phải có lý do đầy đủ để hiện hữu (mọi sự đều có nguyên nhân), "chân không" nếu thực là chân không thì không thể có lý do hiện hữu (chân không từ đâu ra ?); Descartes thì coi ngay cả việc nằm trong không gian cũng là một sự hiện hữu, vậy trong không gian không có "chân không"... Hai ông đều suy ra khái niệm "chân không" từ những đặc tính siêu hình của "hư vô" mà không thấy có thể có một định nghĩa "chân không" rất thực tế, đó là là đặc tính của một khoảng không trong đó "không có gì"; thế mà hình học giải tích của Descartes với không gian ba chiều cho phép quan niệm rất dễ dàng một điều như vậy.

Sau Leibniz (và Kant), nguyên lý "lý do đầy đủ" được giảng dạy như một nguyên tắc của luận lý học, với niềm tin tuyệt đối vào tất định thuyết trong suốt hai thế kỷ 18 và 19 người ta không ai nghi ngờ điều này. Nhưng đến nay đã rõ đây chỉ là một niềm tin tiên thiên, không áp dụng được trong cơ học lượng tử. Niềm tin này còn đậm nét trong Einstein khi ông thốt lên "Thượng đế không chơi trò súc sắc". Và phải nói rằng nguyên lý này vẫn mãi mãi hữu ích trong học thuật nói chung, khi nó thúc đẩy người ta không bao giờ bằng lòng ngay với một khẳng định, mà phải đi tìm những lý do sâu xa của chúng. Về nguyên lý này và sự đánh giá của Kant, xem :

http://lyc-sevres.ac-versailles.fr/p_leibniz_pub.synth.php

15 Để thí dụ, tiên đề này có thể viết như sau : .

16 Ở đây người ta không khỏi liên tưởng đến Đạo Đức kinh : Đạo sinh ra một, một sinh ra hai, hai sinh ra ba, ba sinh vạn vật. (câu 42). Và "Đạo" là gì : Có một vật hỗn độn mà thành trước cả trời đất. Nó yên lặng (vô thanh) trống không (vô hình), đứng một mình mà không thay đổi (vĩnh viễn bất biến), vạn hành khắp vũ trụ mà không ngừng, có thể coi nó là mẹ của vạn vật trong thiên hạ. (câu 25). Những trích dẫn ở đây, cũng như câu đề từ, được chép từ bản dịch của Nguyễn Hiến Lê, nguồn : wikisource. Có lẽ sự tương đồng không ngẫu nhiên. Cả hai đều muốn khởi đi từ cái "có" cơ bản nhất, và như thế chỉ có thể là "có" "cái không", và cái "có" này đến lượt nó lại là cái "có" thứ hai... Nhưng trong khi thuyết tập hợp chỉ là một mô hình của nhận thức, được xây dựng trầy trật để làm nền tảng cho toán học; thì Đạo Đức kinh có lẽ không phân biệt rõ nhận thức và bản thể, và cuốn sách nền tảng này dĩ nhiên không liên hệ gì đến toán học.

17 Các tiểu đoạn 3.1, 3.2 và 3.3 trong bài này đa phần được tóm tắt từ mục "Vide" (tr. 428-438) của tác phẩm "Les grands concepts scientifiques et leur évolution", Maurice Eduard Berthon, nxb Publication Universitaire, Paris 2000.

18 Đã có nhiều cuốn sách rất hay về những chủ đề này được viết bằng tiếng Việt hoặc dịch ra tiếng Việt, ngoài cuốn Einstein đã dẫn, còn có các tác phẩm của các nhà vật lý thiên văn học Nguyễn Quang Riệu và Trịnh Xuân Thuận. Xin xem phần sách tham khảo. Sách ngoại quốc thì không thể kể xiết.

19 Gallilei đã khẳng định sự tương đối giữa các hệ quy chiếu chuyển động thẳng đều với nhau, nhưng thời ông người ta chưa nghiên cứu về ánh sáng. Cơ học của Newton coi điều đó là đương nhiên. Nhưng sau Huyghens tất cả các nhà khoa học đều tin vào ête, như thế vô hình trung là bỏ ý tưởng tương đối vì xác định có một hệ quy chiếu "tuyệt đối" trong đó ête không di chuyển. Einstein là người đầu tiên khẳng định lại ý tưởng tương đối trong nghĩa trên.

20 Theo nghĩa kết quả việc đo lường không gian và thời gian trong hai hệ quy chiếu chuyển động với nhau là khác nhau.

21 Xem thêm Nguyễn Xuân Xanh, sách đã dẫn, tr. 50-57.

22 Đó là nguyên lý bất định của Heisenberg, theo đó sai số của vị trí nhân với sai số của xung lượng phải lớn hơn hằng số planck chia cho 2π. Đây là nguyên lý của thế giới vật chất chứ không phải giới hạn của khả năng đo lường, nói cách khác: càng muốn đo chính xác vị trí của một hạt, càng mất chính xác trên xung lượng của nó, và ngược lại.

23 "Theo tôi hiểu thì cái khó khăn để hoà hợp CHLT và TTĐ rộng là ở chỗ CHLT đã "lượng tử hoá" vật chất, trong khi không-thời-gian của TTĐ rộng hãy còn liên tục. Vì thế Alain Connes (nhà toán học Pháp) muốn đề nghị "lượng tử hoá" cả không-thời-gian bằng hình học không giao hoán (non commutative geometry) của ông. Không gian và thời gian cũng đứt quãng thành gói hết, chẳng còn liên tục nữa. Nhưng Connes cũng như Poincaré ngày xưa chắc còn thiếu một cái gì để mở đường cho một chân trời mới... một trực giác vật lý học của một Einstein mới." (Trích Phạm Xuân Yêm, thư riêng). Và như thế, biết đâu trong tương lai người ta sẽ hiểu tính liên tục như một tiệm cận của tính rời rạc ?

24 Vậy biết đâu Leibniz và Descartes lại không sai ! nhưng không sai không hẳn là "có lý" ! xin xem chú thích 14.

25 Đặc biệt liên hệ với chủ đề của tiểu luận này là bài "Cái Không trong lượng tử" của nhà vật lý học Phạm Xuân Yêm, http://vietsciences.free.fr/ số tháng 8-2007. Bài này không chỉ nói về "cái không", nó còn cho thấy một toàn cảnh về vật lý đương đại. Đây là bản tác giả đã cập nhật từ bản đăng trong Chim Việt Cành Nam, số 21, tháng 11.2005:

http://chimviet.free.fr/index2.htm

Tiểu luận này đã trả lời được phần nào câu hỏi: Tại sao đông phương học không có toán học !

Anh Vuivui thân mến.

Toán học phát triển ở Châu Âu vượt trội so với Đông phương chỉ vài thế kỷ nay thôi - tất nhiên là xét theo quan điểm toán học hiện đại - do sự phát triển khoa học nên kéo theo Toán học phát triển. Cái bàn tính xuất phát từ Đông phương đấy chứ. Bát quái không phải là danh từ trong cấu trúc ngôn ngữ. Vậy nó biểu hiện cái gì?Theo tôi bát quái chính là ký hiệu toán học rất cao cấp.Còn nữa: Những sự biến thiên của những con số trong Huyền không Phong thủy, Thái Ất..... chính là những sự ứng dụng toán trong sự vận động của vũ trụ. Chúng hoàn toàn mang tính quy luật.

Quí vị quan tâm và anh chị em thân mến.

Định đề III của Cantor và nghịch lý của hệ thống này làm cho nó chưa được các nhà khoa học công nhận. Nhưng thuyết Âm Dương Ngũ hành của nên Lý học Đông phương - phục hồi nhân danh văn hiến Việt - nhìn từ một góc độ khác; hay nói đúng hơn là sự bổ sung tính phân loại vạn vật trong vũ trụ từ vi mô đến vĩ mô và cả những khái niệm trừu tượng trong định đề III Cantor thì đã xác định tính hợp lý lý thuyết của hệ thống định đề Cantor.

Định nghĩa về "Tập hợp" được Thế Trung - nhà toán học - và tôi với sự hiểu biết theo cách của tôi về Lý học Đông phương, xác định rằng:

"Tập hợp là khái niệm bao gồm một số phần tử ( vật chất hoặc khái niệm bất kỳ) và tất cả các tương tác của chúng. Để được coi là một phần tử trong một tập hợp thì phần tử đó phải có biểu hiện tính đồng đẳng tối thiểu trong cấu trúc của phần tử đó so với các phần tử khác trong cùng một tập hợp."

Trên cơ sở này thì "Tập hợp" là một khái niệm phân loại của Toán học cao cấp. Từ đó chúng ta quán xét định đề III của Cantor phát biểu như sau:

Một tập hợp bất kỳ đều tìm được một tập hợp lớn hơn nó – có vô tận các vô tận.

Tôi đã xác định ngay: Định đề này hoàn toàn chính xác và phù hợp với cách phân loại vạn vật của thuyết Âm Dương Ngũ hành. Đồng thời cũng xác định rằng: Hoàn toàn không có nghịch lý Cantor khi ông xác định một tập hợp của tất cả mọi tập hợp và là khái niệm tập hợp lớn nhất bao trùm. Sự xác định này trên cơ sở của Thuyết Âm Dương Ngũ hành nhân danh nền văn hiến Việt. Nhưng để tìm hiểu về mối liên quan giữa thuyết Âm Dương Ngũ hành với tính phân loại trong khái niệm "tập hợp" của Cantor, tôi nghĩ cần tóm tắt sự nhận thức lịch sử hình thành vũ trụ từ khởi nguyên vũ trụ theo quan niệm của học thuyết này - nhân danh nền văn hiến Việt.

I. Lịch sử vũ trụ theo thuyết Âm Dương Ngũ hành - nhân danh nền văn hiến Việt.

1. Khởi nguyên vũ trụ là Thái Cực.

Thái Cực được coi là cái tuyệt đối: không không gian, không thời gian và chính là sự vô tận. Không lớn, không nhỏ, không động, không tĩnh, không có đối đãi so sánh. Nhưng là một thực trạng khởi nguyên của vũ trụ.

2. Lưỡng Nghi và khái niệm Âm Dương.

Thái cực là tuyệt đối, nên nếu như giữ nguyên trạng thái này sẽ không có lịch sử hình thành vũ trụ. Từ Thái Cực đã sinh ra một cái đối đãi với nó và không phải nó. Đây là khái niệm "Lưỡng Nghi" trong Lý học Đông phương. Giữa Thái Cực, cái tuyệt đối ( - mô tả vận tốc vũ trụ trong Thái Cực bằng /0/) - với cái đối đãi so sánh với nó ("Sự tiệm cận cái tuyệt đối") thì đã có khái niệm phân biệt. Đây chính là khái niệm Âm Dương .

2.1. Nguyên lý : "Dương trước. Âm sau".

Thái cực có trước là Dương và "cái đối đãi với Thái cực và không phải Thái Cực" là Âm sau. Đây chính là cơ sở của nguyên lý được mô tả trong thuyết Âm Dương Ngũ hành - nhân danh nền văn hiến Việt: "Dương trước - Âm sau".

2.2. Nguyên lý: Dương tịnh Âm động.

Như vậy Âm - trong khởi nguyên vũ trụ - vừa là sự đối đãi với Thái Cực vừa là cái tiệm cận cái tuyệt đối và không phải cái tuyệt đối. Đó là sự xác định Dương - Thái Cực tịnh - so với "cái đối đãi với Thái Cực và không phải Thái Cực" là động.

Nguyên lý này - nhân danh nền văn hiến Việt - được xác định một cách nhất quán trong toàn bộ hệ thống lý thuyết của thuyết Âm Dương Ngũ hành trong phương pháp phân loại vạn vật trong hệ quy chiếu liên quan đến khái niệm Âm Dương (Tính nhất quán và tính hệ thống là tiêu chí khoa học cho một lý thuyết khoa học được coi là đúng). Trong quá trình tiến hóa của vũ trụ sau khởi nguyên khái niệm Âm Dương mang tính phân biệt đối đãi và không làm thay đổi nguyên lý này.

3. Ngũ hành - bản chất của vật chất khởi nguyên vũ trụ và vạn sự phân loại theo Ngũ hành.

Ngay sau khí Thái Cực sinh Lưỡng nghi thì sự tương tác giữa cái Tuyệt đối - Thái Cực và cái "Tiệm cận sự tuyệt đối và không phải tuyệt đối" đã tạo ra một trang thái tồn tại và tiếp đó là sự bùng nổ trong vũ trụ. Đây chính là hiện tượng mà những phương tiện khoa học đã xác định - nhưng giải thích là sự bùng nổ của "vật chất cô đặc" - "điểm kỳ dị"....- .theo thuyết Big bang. Cổ thư gọi là hiện tượng "Hỗn độn" trong khởi nguyên của vũ trụ. Quá trình này được mô tả như sau:

Sự tương tác của Lưỡng Nghi sinh ra một dạng tồn tại đầu tiên của vũ trụ - Đó chính là khái niệm "Khí" theo định nghĩa khái niệm "Khí" - Đã công bố trong hội thảo "Phong thủy là khoa học" Tại Khách Sạn La Thành Hanoi, ngày 15. 12. 2009.

Đây chính là điều mà Đạo Đức Kinh ghi nhận: "Thiên nhất sinh nhị - Nhị sinh tam - Tam sinh vạn vật".

Sự tương tác tiếp tục với những trạng thái vật chất đầu tiên được hình thành và phân loại theo Ngũ hành. Sự tương tác tiếp tục của các trạng thái vật chất đầu tiên này với các trang thái tồn tại khác trước đó phát triển lịch sử tiến hóa của vũ trụ và hiện hữu như ngày này.

Điều này có thể mô tả được bằng mô hình toán học của Wofram.

Học thuyết của Wofram được mô tả như sau:

“Rất nhiều chương trình cực kỳ đơn giản có thể sinh ra các kết quả hết sức phức tạp” hay ông còn gọi là nguyên lý sự tương đương theo các chương trình tính toán: có nghĩa là: mỗi khi chúng ta nhìn thấy các hành vi tương đối phức tạp – tại bất cứ một hệ thống nào – nó có thể được cho là tương đương với sự phức tạp của một chương trình tính toán tương ứng

“ The Principle of Computational equivalence: that whenever one sees behavior that is not obviously simple – in essentially any system – it can be thought of as corresponding to a computation of equivalent sophistication. “

Để hiểu rõ hơn mời quí vị cùng thực hành chương trình tính toán đơn giải dựa trên các bộ luật tô màu ô tự động như sau:

Rõ ràng với các cách tô này thì kết quả nhìn khá đơn giản và chúng ta có thể nhận ra ngay qui luật của chúng

Thưa quí vị nếu chỉ nhìn vào những hình vẽ cuối chắc không ai tin rằng nó là kết quả của qui luật rất đơn giản: với một ô đen ở giữa dòng đầu tiên.

Chắc sẽ có nhiều người yêu sự phức tạp sẽ nghĩ ra những qui luật hoàn toàn khác và họ luôn gần đúng.

Vậy phải chăng đây là cơ sở tại sao ADNH có thể là một học thuyết thống nhất?

Câu trả lời chỉ có được khi một sự hợp tác của Trung tam Nghiên cứu Lý học Đông phương và Wolfram cùng làm ra chương trình chạy mô phỏng dựa trên luật ADNH và thấy nó trùng với thế giới chúng ta đang sống.

Chắc chắn ngày này không xa.

Trân trọng

Thế Trung

II. Tính phân loại của thuyết Âm Dương Ngũ hành - nhân danh nền văn hiến Việt - lý giải nghịch lý Cantor.

Như vậy, cấu trúc khởi nguyên của vũ trụ được xác định và phân loại theo năm trạng thái tồn tại của vật chất theo thuyết Âm Dương Ngũ hành chính là Ngũ hành. Điều này giải thích vì sao Ngũ hành nằm trong chiếc bánh chưng vuông thuộc Âm, được vua Hùng ấn chứng và trở thành linh vật của nền văn hiến Lạc Việt. Trong sự tương tác của Âm Dương - Ngũ hành được phân thành 10. Đây là cơ sở lý thuyết của Thập Thiên can (Gốc ở trời). Tất cả những sự mô phỏng này - đến đây - chưa phải là sự hình thành những cấu trúc vật chất được định dạng - thí dụ như khái niệm "hạt cơ bản" của vật ;lý hiện đại. Trong quá trình tương tác - năng lượng tích tụ thành khối lượng - ( "Khí tụ thành hình" theo giải thích của Lý học Đông phương - Đây cũng chính là cơ sở để tôi xác định rằng : "Không có "Hạt của Chúa").

Như vậy, Ngũ hành chính là trạng thái tồn tại của vật chất từ khởi nguyên của vũ trụ. Như vậy, sự phát triển của vạn sự trong lịch sử hình thành vũ trụ như chúng ta thấy được ngày hôm nay chính là bắt đầu từ những trạng thái vật chất khởi nguyên với khái niệm Ngũ hành của học thuyết này. Hay nói cách khác: Ngũ hành chính là thành tố đồng đẳng trong mọi các tập hợp liên quan. Đó là cơ sở để xác định phần sau đây trong định nghĩa về tập hợp:

"Tập hợp là khái niệm bao gồm một số phần tử ( vật chất hoặc khái niệm bất kỳ) và tất cả các tương tác của chúng. Để được coi là một phần tử trong một tập hợp thì phần tử đó phải có biểu hiện tính đồng đẳng tối thiểu trong cấu trúc của phần tử đó so với các phần tử khác trong cùng một tập hợp."

Điều này giải thích vì sao - khi phân loại theo Bát quái thì Tập hợp quái Khảm gồm: Cây có lõi cứng và to, con ngựa có bờm dài rủ xuống...và cả Mặt trăng, ....

Cũng trên cơ sở này và tôi đã viết trong các bài viết trên: Với phương pháp phân loại theo Ngũ hành thì luôn có tập hợp lớn hơn và phủ hợp với Định đề III của Cantor. Nhưng cuối cùng, một tập hợp bao trùm lên tất cả - có thành tố cấu trúc đồng đẳng trong vạn sự của vũ trụ - theo định ngĩa về khái niệm tập hợp của tôi và Thế Trung - chính là Thái Cực. Thái cực chính là cái vô tận lớn nhất và phù hợp giải thích nghịch lý Cantor, phù hợp với Định đề III Cantor và với Định nghĩa về khái niệm Tập hợp. Tự thân Thái Cực chính là cái tuyệt đối và thỏa mãn định để III Cantor và định nghĩa về Tập hợp.

KÍnh thưa quí vị:

SW Hawkinh phát biểu:

Nếu quả thật có một lý thuyết thống nhất thì chính nó sẽ quyết định chúng ta tìm ra nó hay không?

Nhưng tôi luôn luôn xác định rằng: Thuyết Âm Dương Ngũ hành chính là lý thuyết thống nhất mà nhân loại đang mơ ước.

Cảm ơn sự quan tâm của quí vị.

Chào Thế Trung.

Chúng ta lấy 1 ví dụ:

Tập hợp A: chứa phần tử V = 300.000km/s (tạm gọi đặc trưng phần tử), vận tốc ánh sáng, khoa học đã thí nghiệm và xác định.

Bằng phương pháp nào có thể chứng minh:

Có 1 Tập hợp B: chứa phần tử V = 1000.000km/s

Hiện tại bị giới hạn: V < = 300.000 km/s.

Trong định nghĩa phân loại tập hợp không có đặt vấn đề tốc độ của một vật thể. Bởi vì nó là tính năng của vật thể đó và không phải vật thể đó. Nó không phải đối tượng của phân loại. Cách đặt vấn đề như thế này giống như sau:

Độ mặn của một lít muối khoa học đã chứng minh là Xb. Có thể chứng minh được một tập hợp mặn hơn muối không?

Đại để vậy!

Tại sao lại cần phải chứng minh có tập B?

Đúng, vấn đề này không phải bài toán tập hợp.

Hoangnt sẽ chứng minh có V >= 1000.000km/s ở mục Mạn Đàm: Chiều là gì?

Hoangnt không nên làm loãng chủ đề.

Kính thưa quí vị quan tâm.

Đọc lại bài viết của tôi, có đoạn sau đây trong phần trích dẫn của Thế Trung

Thưa quí vị nếu chỉ nhìn vào những hình vẽ cuối chắc không ai tin rằng nó là kết quả của qui luật rất đơn giản:

với một ô đen ở giữa dòng đầu tiên.

Chắc sẽ có nhiều người yêu sự phức tạp sẽ nghĩ ra những qui luật hoàn toàn khác và họ luôn gần đúng.

Vậy phải chăng đây là cơ sở tại sao ADNH có thể là một học thuyết thống nhất?

Câu trả lời chỉ có được khi một sự hợp tác của Trung tâm Nghiên cứu Lý học Đông phương và Wolfram cùng làm ra chương trình chạy mô phỏng dựa trên luật ADNH và thấy nó trùng với thế giới chúng ta đang sống.

Chắc chắn ngày này không xa.

Trân trọng

Thế Trung

Xem xong đoạn này gây cho tôi một cảm hứng, khi tôi nhận thấy rằng: Ngày càng nhiều cơ sở tri thức hiện đại tỏ ra tương đồng với Lý học Đông phương. Trước đây bắt đầu từ bài toán bốn màu. Rồi đến lý thuyết Wofram và bây giờ là nghịch lý Cantor. Còn gì nữa để so sánh? Nhưng trước sau thì việc xác định: Thuyết Âm Dương Ngũ hành chính là lý thuyết thống nhất vũ trụ - vấn đề này đã được đặt ra ngay trong đoạn cuối của cuốn "Tìm về cội nguồn Kinh Dịch" (Xb 2001) và tái khẳng định trong tiểu luận "Định mệnh có thật hay không?" - lần đầu tiên viết trên diễn đàn tuvilyso.com (Bây giờ là tuvilyso.net) từ năm 2005. Tôi vẫn luôn luôn xác định và đã chứng minh - trong tiểu luận "Định mệnh có thật hay không?" - rằng: Lịch sử văn minh hiện tại không phải là chủ nhân của thuyết Âm Dương Ngũ hành. Nó thuộc về một nền văn minh khác - nhưng không phải từ ngoài hành tinh với những vật thể bay không xác định, mà nó là của chính con người sinh ra trên trái Đất này. Tất cả nội dung và mục đích của toàn bộ hệ thống lý thuyết này - theo cách hiểu của tôi - nói lên điều đó và tôi đã chứng minh điều đó. Như vậy, nếu như các tri thức khoa học hiện đại chưa thể xác định được "Có hay không một lý thuyết thống nhất" trên cơ sở nền tảng tri thức cao cấp nhất của nền văn minh hiện tại - thì - việc xác định một lý thuyết thống nhất đã tồn tại từ nền tảng tri thức này - quả là điều khó khăn. Có hai khả năng sẽ xảy ra:

1/ Không tìm thấy cơ sở - trên nền tảng tri thức khoa học hiện đại - để xác định thuyết Âm Dương Ngũ hành chính là Lý thuyết thống nhất.

Đây là khả năng dễ xảy ra nhất với xác xuất 99,999%. Bởi vì một phát minh - tôi giới hạn chỉ là một phát minh vượt trội, chưa nói đến một hệ thống lý thuyết - được công nhận nó phải có nền tảng tri thức xã hội cho nó. Trên cơ sở tri thức nền tảng xã hội này, những tri thức cao cấp nhất của nền tảng tri thức đó sẽ công nhận sự phát minh vượt trôi trên. Thí dụ như trường hợp "bổ đề toán học của Ngô Bảo Châu", gây chú ý của dư luận gần đây. Mặc dù không phải ai cũng hiểu được những vấn đề liên quan đến bổ đề toán học này. Từ đó cho thấy rằng: Thuyết Âm Dương Ngũ hành - một học thuyết được xây dựng trên nền tảng tri thức của một nền văn minh hoàn toàn khác với nền văn minh hiện đại (Chỉ với thực tại này cho thấy một khoảng cách vô cùng lớn của tri thức vượt trội thuộc hai nền văn minh). Do đó nó sẽ rất khó có một tri thức vượt trội của nền văn minh này xác định được tính chân lý của một hệ thống tri thức thuộc một nền văn minh khác với khoảng cách quá lớn như vậy (Một hệ thống tri thức chư không phải một phát minh vượt trội đơn lẻ).

2/ Nền văn minh hiện đại đã phát triển gần đến giai đoạn đỉnh cao của nhận thức trực quan qua những phương tiện nhận thức của nền khoa học kỹ thuật hiện đại. Những hệ thống lý thuyết chuyên ngành đã bắt đầu xuất hiện. Trên cơ sở này, những tiêu chí cho một lý thuyết được coi là khoa học xuất hiện để có thể thẩm định tính chân lý của nó - Diễn tả theo cách của tôi là "con nòng nọc đã xuất hiện một cái chân sau, để hình như nó không phải con của con cá Trê" - Trên cơ sở những tiêu chí khoa học này có thể thẩm định được tính chân lý của một hệ thống lý thuyết - như thuyết Âm Dương Ngũ hành - Tất nhiên nhân danh nền văn hiến Việt - vì nó khác hẳn từ nguyên lý căn để "Hậu Thiên Lạc Việt phối Hà Đồ" cho đến cách giải thích mọi hiện tượng liên quan so với cổ thư chữ Hán. Bởi vậy, đây là khả năng có thể. Việc so sánh với lý thuyết Wofram, hoặc của Cantor chỉ là điều kiện tương tác kết nối vì tính tương đồng giữa những mảng của tri thức hiện đại với những bộ phân liên quan đến thuyết Âm Dương Ngũ hành (Rất tiếc! Ngay cả những lý thuyết mới nhất này cũng chưa được khoa học chính thức công nhận). Nó không phải là điều kiện thẩm định cho thuyết Âm Dương Ngũ hành. Điều kiện thẩm định thuyết Âm Dương Ngũ hành chính là tiêu chí khoa học cho một lý thuyết khoa học và tiêu chí cho một lý thuyết thống nhất mà nhân loại đang mơ ước.

Bởi vậy, tôi vẫn còn hy vọng cho khả năng thứ 2 này xảy ra như nhận xét của Thế Trung. Nhưng nếu khả năng thứ 2 này xảy ra thì có thể nói hầu như mọi di sản văn hóa Việt vật thể và phi vật thể cần được bảo tồn - mới có thể phục hồi được hệ thống lý thuyết này. Nhân loịa còn tốn kém, nhưng chắc chắn rẻ hơn cỗ máy LHC đi tìm "hạt của Chúa"! Một vấn đề nữa là : Nếu một lý thuyết khoa học được phát minh thì khi ứng dụng còn một khoảng cách khá lớn. Nó đỏi hỏi sự đồng bộ của nhiều ngành khoa học Kỹ thuật. Còn thuyết Âm Dương Ngũ hành có thể ứng dụng ngay trong quá trình phục hồi lại học thuyết này ở một số lĩnh vực. Bởi vì nó đã và đang ứng dụng từ hàng ....Thiên niên kỷ nay, trên mọi lĩnh vực của cuộc sống xã hội và con người.

Tuy nhiên, mọi chuyện vẫn còn ở phía trước. SW Hawking đã nói:

"Nếu quả thật có một lý thuyết thống nhất thì chính nó quyết định chúng ta tìm ra nó hay không".

Vậy đành chờ xem quyết định của "Định mệnh".

Trân trọng cảm ơn Thế Trung.

Đọc đi đọc lại chủ đề này...sao mông lung quá...

Vui lòng cho hỏi:

Tập hợp các số hữu tỉ là vô tận... đồng ỳ.

Tập hợp các số vô tỉ cũng là vô tận...đồng ý luôn.

Nhưng sao lại nói tập hợp các vô tỉ lại lớn hơn tập hợp các số hữu tỉ.

Trong khi tập hợp số vô ti có thể lớn hơn (ở đây phải hiểu nhiều hơn) tập hợp các số hữu tỉ.

Nhưng bản chất các số này là khác nhau (cái ánh xạ được, cái không ánh xạ được) thì sao so sánh.

Ví như: Tập hợp 3 con gà và tập hợp 2 con voi. Rồi nói rằng tập hợp 3 con gà lớn hơn tập hợp 2 con voi...kỳ cục.

Rồi nữa...

Sao lại dừng ở hai tập hợp đó mà không đi tiếp...

Ta sẽ có tập hợp các số thực (gồm số vô tỉ và hữu tỉ).

Với định nghĩa: Tập hợp các số thực gồm các phần tử số lắp đầy trục số...

Vậy với định nghĩa này thì tập hợp số thực là lớn nhất rồi.

Sao tìm được tập nào lớn hơn nó nữa.

Sau này, có tham khảo thêm toán cao cấp

Có thêm một số ảo (gọi là i thì phải).

Số đó không biết ở đâu chỉ biết khi bình phương nó lên thì bằng -1.

Tới đây thì...tịt luôn...

Mong chỉ giáo...

Tập hợp các số vô tỷ lớn hơn tập hợp các số hữu tỷ thì các nhà toán học đã công nhận rồi. Bởi vậy không nên đặt vấn đề này. Hỏi điều này không khác gì hỏi "Tại sao bổ đề toán học của Ngô Bảo Châu được công nhận? Tôi chẳng hiểu gì cả?". Chúng ta thừa nhận những cái gì đã được công nhận và triển khai từ đó trở lên để ngắn gọn vấn đề.

Dấu ấn của thất bại

Hà Yên

Chungta.com

Xem bài trước:

Chân lý của Tự do: Tự nhiên - cội nguồn của chân lý

Chân lý Khoa học được con người nhận thức, chứ không phải là sản phẩm tư duy của con người buộc Tự nhiên phải tuân theo.Chẳng hạn, khi chưa có định luật Archimet, thì con thuyền vẫn nổi được trên mặt nước, chứ không phải nó chỉ bắt đầu nổi được trên mặt nước khi Archimet khám phá ra định luật ấy.

Nếu chân lý thuộc về Tự nhiên, thì các qui luật vận động của Tự nhiên được con người nhận thức và suy tư, được thấu hiểu như một chỉ dẫn, gợi mở cho con người cách thức ứng xử và hành động, tùy theo khả năng nhận thức chân lý đó đến đâu.

Điều này thấy rõ hơn qua những dấu ấn sau đậm về thất bại của hàng loạt ý tưởng sáng tạo khoa học trong quá khứ, mà có thể dẫn ra một vài sự kiện sau đây :

* Trong lĩnh vực Khoa học kỹ thuật : Từ Thế kỷ 19, không ít người theo đuổi những ý tưởng sáng tạo, mà nguyên lý của nó hoàn toàn không tồn tại trong tự nhiên. Đó là cuộc săn tìm “Động cơ vĩnh cửu” : Một cỗ máy làm việc tuần hoàn sinh công mà không cần nhận thêm năng lượng từ bên ngoài hoặc sinh công lớn hơn năng lượng mà nó nhận được ! Những cỗ máy kiểu này, được gọi là động cơ vĩnh cửu loại một, vì nó vi phạm Nguyên lý thứ nhất của Nhiệt động lực học, một nguyên lý tuyệt đối của Tự nhiên : Nguyên lý bảo toàn và biến đổi năng lượng.

Những đề án, những bản vẽ, những luận chứng về các công trình động cơ vĩnh cửu không chỉ om sòm trong thế kỷ 18 – 19, mà ngay trong những năm cuối của thế kỷ 20, Ban thư ký Viện hàn lâm Khoa học của Pháp vẫn còn tiếp tục nhận và xử lý những đề án phát minh kiểu như vậy.

Tình hình đó cho thấy một thực tế là còn không ít những Nhà phát minh đơn độc theo đuổi ý tưởng tốt đẹp của mình, chỉ bằng chính niềm tin vào tư duy sắc bén và óc tưởng tượng phong phú của chính mình, mà không cầu tự hỏi rằng, liệu trong Tự nhiên có tồn tại dạng vận động Vật chất như ý tưởng mà mình ôm ấp hay không.

Trong lĩnh vực máy nhiệt, hoạt động tuần hoàn biến nhiệt thành công hoặc biến công thành nhiệt, trong đó, nhiệt được trao đổi bỡi hai nguồn : Nguồn nóng và Nguồn lạnh. Người ta thấy, về mặt năng lượng, có thể có một loại động cơ vĩnh cửu không vi phạm nguyên lý thứ nhất của nhiệt động học và nếu chế tạo thành công sẽ đem lại một lợi ích rất to lớn. Sức hấp dẫn lợi ích đó, đã từng thu hút rất nhiều ngươì đầu tư chế tạo loại máy nhiệt này, Rốt cục tất cả họ đều thất bại, bỡi vì các hệ nhiệt động trong Tự nhiên không tồn tại chu trình thuận nghịch, một chu trình “tự thân” không làm biến đổi môi trường xung quanh trong quá trình vận động. Nghĩa là trong Tự nhiên không thể diên ra chu kỳ : Nhiệt truyền từ nguồn nóng sang nguồn lạnh rồi tự phát truyền từ nguồn lạnh sang nguồn nóng để trở về trạng thái ban đầu, tự hoàn thành một chu trình, mà không làm biến đổi môi trường xung quanh.

Đó chính là nội dung Nguyên lý thứ hai của nhiệt động học. Những ý tưởng máy nhiệt vi phạm nguyên lý thứ hai của nhiệt động học, gọi là “Động cơ vĩnh cửu loại hai”. Nếu chế tạo được một động cơ như thế, thì chỉ cần cho nó tiếp xúc lấy nhiệt ở một nguồn nhiệt vô cùng lớn từ nước của đại dương chẳng hạn, thì nó sẽ sinh công mãi cả hàng triệu triệu năm !

Những nguyên lý cơ bản của Tự nhiên là “Luật” mà Tạo hoa cũng phải tuân theo, thì con người, do Tạo hóa sinh ra, không có quyền năng gì để làm ngược lại. Chỉ có những ai nhầm tưởng chân lý là sáng tạo của Tư duy mới luôn gặt hái thất bại.

* Với cả Ngành toán học. Nếu như các định luật Vật lý của Newton, trong các thế kỷ trước, được coi là đã tìm ra nền tảng vững chắc của nhận thức Thế giới Tự nhiên, một thế giới kỳ vĩ có thể nắm bắt được, tiên đoán được, thì tình hình Toán học lúc bấy giờ cũng diễn ra tương tự : Đứng trước sự khủng hoảng của bản thân Toán học, do quá trình phát triển nảy sinh những nghịch lý, những mâu thuẫn nội tại không thể khắc phục được, dẫn đến hình thành nhiều trường phái theo đuổi những quan điểm khác nhau vè số phận phát triển tương lai của Toán học. Đứng trước thực tế đó, đòi hỏi phải xây dựng Toán học dựa trên một nền tảng vững chắc cho mãi mãi về sau, mà không bao giờ gặp phải khủng hoảng. Một nền tảng vưng chắc như “Quyết định luận” mà Vật lý Newton có vẻ đã đặt được lúc bấy giờ, đến nỗi Thượng đế cũng không còn chỗ đứng nào trên nền tảng đó nữa.

Người khởi xướng xây dựng một nền tảng vững chắc mãi mãi cho Toán học là Nhà toán học vĩ đại người Đức David Hilbert. Sau khi ông xây dựng thành công trọn vẹn 20 tiên đề cho hình học, nhờ dựa vào không gian Số học, Được thành công cổ vũ, Hilbert đưa ra chương trình tiên đề hóa, rồi hình thức hóa toàn bộ toán học cổ điển thành một lý thuyết tiên đề hình thức. Vấn đề cốt lõi của bài toán mà Hilbert đặt ra là “Chứng minh sự nhất quán của hệ các tiên đề số học”, mà chương trình tiên đề hóa sẽ xác lập.Thách thức mà Hilbert phải đương đầu là tìm ra một thủ tục tổng quát để tiến hành việc chứng minh tính nhất quán của hệ tiên đề cũng như tính phi mâu thuẫn của lý thuyết hình thức đó. Toán học sau khi đã hình thức hóa, tức là diễn đạt tất cả mọi mệnh đề Toán học thành một hệ thống ký hiệu và việc làm toán, việc chứng minh, chỉ là thực hiện một dãy thủ tục thao tác trên các ký hiệu, tuân theo các luật suy diễn hình thức mà không cần quan tâm đến ý nghĩa của hệ thống các ký hiệu đó.

Nếu chương trình của Hilbert thành công thì toàn bộ Toán học, cùng với hệ thống lôgic cổ điển, chẳng những được bảo vệ mà còn có được một nền tảng vững chắc để bản thân Toán học phát triển trong tương lai.

Chương trình tiến hành, có lúc như đã tiến sát đến thành công, thì trong năm đó, 1931, Nhà toán học người Áo Kurt Gödel công bố một định lý Toán học mang tên ông. Một định lý mà người ta ví như một tiếng sét trên bầu trời Toán học lúc bấy giờ. Và, “lưỡi tầm sét” ấy đã giáng xuống chương trình của Hilbert, kết thúc số phận ảo tưởng của nó. Định lý Gödel chứng minh rằng, Một hệ thống số học nhất quán và phi mâu thuẫn thì nó không đầy đủ (bất toàn), tức là bao giờ cũng chứa trong nó những mệnh đề “không quyết định được” (không thể khẳng định được nó đúng hay sai). Mặt khác, không thể chứng minh được một hệ thống là nhất quán và phi mâu thuẫn nếu chỉ dựa trên các tiên đề chứa trong hệ thông đó, mà phải tìm sự chứng minh bên ngoài hệ thống. Cái nền tảng vững chắc, vĩnh cửu, làm chỗ dựa cho Toán học, mà Hilbert mơ tưởng, là không có trong Tự nhiên. Bởi vì cái đúng của Toán học không thể được chứng minh trong bản thân Toán học mà phải tìm ở Thế giới bên ngoài.

Nhưng nếu Hilbert thành công khi tiên đề hóa Hình học bằng lối thoát ra ngoài Hinh học để tìm trong không gian Số học, thì giờ đây, với không gian Số học vô cùng rộng lớn, bên ngoài nó không còn không gian nào nữa, thì ông tìm ở đâu.

Trái lại, cái gọi là nền tảng vững chắc, mà người ta tin là chân lý vĩnh hằng, trong Thế giới Newton, hóa ra là “bất toàn”khi đứng từ Thế giới lượng tử để suy tư và phát hiện. Trong trường hợp này, người ta tìm ra cái đúng từ phát hiện ra cái sai !

Hà Nội, tháng giêng năm 2011