Kakalotta

Hội viên
  • Số nội dung

    124
  • Tham gia

  • Lần đăng nhập cuối

Everything posted by Kakalotta

  1. If you want to show up, feel free to do so. Everything I said is conjecture, which is one of the frontier in human's understanding about Bigbang, okie? I understand what I said. Don't try to attack bigbang with the tools and knowledge of "kinder Garden", girl. it's ridiculous. At least ten years of Education in top school like UC is required for you to do so. I work with the short distant limit of that theory. I am at Cal, if you want, I can give you some education. Haha. Don't try to play with me, it's gonna be a joke. If you could not even understand a page of the paper I gave you, then it's of no benefit to talk about BB with you. You are a very brave girl. Good!
  2. And this is the answer http://wwwphy.princeton.edu/~steinh/BTBB36.pdf M Theory Model of a Big Crunch/Big Bang Transition
  3. Tôi nói lại quan điểm của tôi. Tôi đồng ý một điều, tử vi hoàn toàn có cơ sở. Càng đi sâu vào tử vi, tôi càng kinh ngạc trước sự chính xác của nó và không giải thích được bằng hiểu biết hiện nay của khoa học. Tôi có xem tử vi cho nhiều bạn bè, và họ đều khẳng định sự chính xác cao. Tuy nhiên khẳng định nó là lý thuyết bao trùm vũ trụ thì lại là trò cười, vì nó không giải thích được ngay cả những điều đơn giản nhất. Đoạn này thì bác TS nói quá là linh tinh. Hai cái đi theo hai đường khác nhau, so thế nào được. Một cái chứng minh chặt chẽ, một cái là học vẹt.Vì vậy, theo quan điểm của tôi, tử vi, và sâu hơn nữa là ngũ hành nên có một nền tảng lý thuyết toán học vững vàng và rất sâu sắc. ADNH do đó có thể là tàn tích của một nền văn minh khác để lại cho đến nay. Đứng đằng sau phải là cả một nền tảng khoa học lớn. Tuy nhiên lý thuyết này đã bị thất truyền và mọi người chỉ biết một phần nhỏ của nó, sau đó thì vẽ rắn thêm chân. Ông nào học tử vi ngũ hành cũng tìm cách đề xuất ra một lý thuyết nào đó ví dụ vẽ thêm vài vì sao, lý giải nọ kia, vì nếu không như vậy thì không chứng tỏ mình là chuyên gia, có khả năng sáng tạo!!! Tiếc là toàn sáng tạo linh tinh, không có cơ sở do hiểu biết về khoa học hạn chế. Tôi có đọc qua cuốn "tử vi dưới con mắt khoa học" của một tiến sĩ ngành hóa (thất nghiệp và lụi bại trong khoa học) tên là Đằng sơn. (tôi khá dị ứng với việc ông ta khoe học vị Tiến sĩ của mình khi viết sách, tuy nhiên đó là việc khác). Tôi khá thất vọng vì hàm lượng khoa học trong đó. Có thể lý do, Đằng Sơn làm về hóa, nên kiến thức về toán và lý tồi!!! Được cái, ông ta khá tự trọng, và hiểu nguyên tắc nên trích dẫn khá đầy đủ nguồn, ai là người phát minh ra a,b,c... Vì vậy, tôi không tin rằng Trần Đoàn phát minh ra tử vi, như hầu hết mọi người đếu nghĩ. Về một khía cạnh nào đó, ông ta là một nhà sư phạm tồi, đào tạo ra mấy đệ tử mà chả có ai học đến nơi đến chốn, nên mới sinh ra tử vi nam/bắc phái và người ta toàn học vẹt! Ví dụ 1-Tại sao lại là ngũ hành mà không phải là bát hành hay thập hành? Có ai hiểu được tại sao lại là ngũ chứ không phải là bát? Tôi có thể kiếm được rất nhiều cái tương sinh tương khắc kiểu đó, trời< mây<gió<thành<chuột<mèo<chó<người 2-Tại sao một người sinh vào 3 h 1 phút thì lại khác hoàn toàn với sinh 2 h 59 phút. Về nguyên tắc, nếu giải thích kiểu của Đằng Sơn thì cực kì không ổn, bởi vì vị trí của các hành tinh về nguyên tắc hoàn toàn không khác nhau mấy giữa 2 thời điểm này!!!! 3- Tại sao lại có 12 phương/cung? Đằng Sơn nói rất linh tinh, và gượng ép, nào là vì 12 chia hết cho 3 và 4... rồi thì chọn 12 vì nó đơn giản hơn 24.... Trong khi tôi hoàn toàn có thể yêu cầu phải là 8 hướng, vì không gian có 3 chiều, hoặc nhiều hơn. Về mặt toán học, lý luận của Đằng Sơn tương tự với đại số G2. Tuy nhiên chả có lý do gì để chọn G2 so với E8 cả! Mũi tên dài là chính chiếu, ở giữa là mặt trời! Nguồn, http://en.wikipedia....iki/Root_system
  4. You understand nothing about physics. Pls come to UCI and take a course "Introduction to Modern Physics"!!! Many of my friends are teaching in Southern California, they can tutor you. The ones proposing BB of course know Thermodynamics!!!
  5. Bác không hiểu chút gì về công việc của các nhà toán học như bọn tôi thì đề nghị không nói linh tinh ạ. Tất cả những điều trên sai 100% hoàn toàn.
  6. Chính là vậy. Cho nên học theo Mr Thích ca, sử dụng tuệ nhãn của Thiếu dương, để biết thế nào là đủ, sắc sắc kô không (Hồng Không), tránh nạn kiếp sát lưu hà ẩn sau Lộc Tồn thì sẽ không phải ôm hận làm sư thiến đến tận kiếp sau.Hehe, nói chuyện kiểu này thích hơn là lý luận khoa học.
  7. Cậu bắt đầu tri rồi đấy. Hiểu được thực tế rất nhanh. Như vậy cậu cũng thông minh. Đã đạt đến cảnh giới đầu tiên của tri.Ngộ được chân lý, đó là điều đáng mừng.
  8. Nó chả bất lợi chút nào. Vụ thiên An Môn, giết 7000 người một ngày, nó còn chả sợ. Cách mạng văn hóa, nó giết 60 triệu dân trung quốc. Dân ta giờ chỉ có 80 triệu. Lịch sử cỏ vết, nhưng ta ko đưa được vết, chỉ bảo là do bánh chưng bánh dày. Nó đưa ra được giấy chứng nhận kết hôn. Khổng tử mạnh tử cũng đứng về phía nó. Ta thua. Ta chim vợ nó, nó thiến ta, ta không cãi được. Nuốt nhục lên núi đi tu cho lành. Không nên bon chen với đời nữa.
  9. Nó uýnh ta què giò, nhưng cũng là do ta móc túi nó. Ta tham nên ta què, tất cả tại tự thân. Trời nào thương. Kết quả rốt ráo là ta què. Trời có thương ta kêu khóc thì cho ta cái nạng, hẹn đến kiếp sau thì cho ta liền chân. Ta sung sướng nghĩ đến kiếp sau, lê la vác nạng đi gặp nó. Đến nhà nó, gặp vợ nó ở nhà. Tán gẫu chờ nó về. Vợ nó bảo nó hay đánh vợ, lấy về không biết chăm sóc. Ta bảo, ta chiều phụ nữ. Vợ nó chỉ được phát huy chăm sóc, nếu vợ nó là của ta (5000 năm trước). (@ bác thiên sứ). Vợ nó bảo, nhưng em đã có giấy hôn thú, ai cũng biết.. Ta bảo, tất cả mọi người đều sai. Vợ nó hợp với ta hơn với nó. Cùng nhau gian dâm. Nó về bắt được. Ta què chân không chạy được. Nó thiến ta. Chặt luôn cái nạng. Ta lên núi đi tu trở thành Sư Thiến. Kiếp sau ta liền lại.
  10. Vấn đề vẫn là minh triết. Nếu đúng, thì phải nói công bằng. Âm dương ngũ hành phải là công lao của nhiều nền văn hóa hợp lại, cớ sao ta tham sân si, nhận nó làm của riêng, cho mình là nhất. Các danh từ ta dùng ở Kinh Dịch cũng là từ tiếng tàu. Nó mạnh ta nhược. Do đó ta nên biết cái gì là của mình, và cái gì là của nó. Nếu ta tham của người mạnh hơn ta, ta sẽ thiệt. Ta móc túi của thằng tướng cướp, nó đánh ta què giò. Danh không chính, ngôn bất thuận, bất thành thánh nhân. Ta vừa què giò, nó lại thành thánh nhân. Phàm phu bị Thánh Nhân đánh què giò, ai bênh? Giết người cướp của, cũng chỉ từ chữ tham chữ dục.
  11. Chân lý ẩn sâu sau sự vật. Đằng sau tranh luận là triết lý của đạo gia. Thánh nhân tri sự thì ngộ. Phàm phu tri sự thì thấy spam.
  12. Đức phật có nói, sắc sắc không không. Cái quan trọng không phải là ai phát minh ra, mà cơ bản là dụng như thế nào.Phát (invent) mà không dụng, là vô nghĩa. Ta là Tử Phủ Vũ Tướng tại tam hợp Thái Tuế, nhưng gặp triệt tuần. Tàu là Liêm Sát Phá Tham tại tam hợp thiên Di, lại có Hồng hỏa Linh không kiếp Kình đà đắc đồng cung. Nó mạnh gấp 10 lần ta. Nó lại dạy ta kinh dịch. Vậy ta nên biết đủ. Ta mà không biết đủ, cứ thích tranh giành thì nó xua quân đánh ta chết. Biết cái gì là vừa đủ, đó là minh triết. Nó mạnh hơn ta mà ta không biết lẽ trời, tham lam thủ đoạn cướp hết công lao của nó thì đáo hạn gặp kiếp sát lưu hà nó giết ta mà thôi. Tất cả đều là Triết lý của Ngũ Hành. Mong bác Thiên Sứ ngộ tri.
  13. Nó đô hộ ta thì ta đánh nó. Nó dạy ta ngũ hành thì ta phải cảm ơn nó, lẽ đâu lại đi cướp hết công về mình.Tranh quyền đoạt lợi, đó là thói thường của phàm phu. Không biết đủ, dùng hết lộc tồn thì Lưu Hà Kiếp Sát phát huy. Minh triết, biết đủ, không tham sân si, đó cũng là chân lý của đạo gia.
  14. Tôi đầu hàng. Chữ hán tôi có hạn. Tôi có tán một em chinese tên là Wanzhen. Tôi sẽ mang lên đây bảo nó nói chuyện với mọi người, xem ai giỏi chữ hán hơn.MỌi người viết kèm theo chữ tàu nhé. Chơi đố chữ cũng hay. Mật Tông là gì? Liễu liễu. Viên thông? Viên là tròn?Thông là đục thông. Vây là đục lỗ hình tròn?
  15. Tàu cũng là ta, ta cũng là tàu. Tàu đô hộ ta cả ngàn năm, văn hóa ta đang học, ngôn ngữ ta sử dụng một phần cũng là tàu.Vậy tại sao lại đi đoạt tất công lao về mình. Mọi tội lỗi trên đời, xuất phát từ chữ tham sân si. Cố gắng lắm, để rồi tất cả thành hư vô. Cần có minh triết, biết đủ biết vừa. Bàn về phật học. Thích Ca có Thiếu dương tại mệnh, Hồng Không tại Di, Lộc tồn Lưu hà, kiếp sát chiếu mệnh. Nên người có tuệ nhãn, ngộ được đạo gia, biết được sắc rồi cũng thành không, nên tránh được Lộc tồn đi với thuốc độc, cái hại kèm theo lợi, né được hạn kiếp không. Không tham danh vọng. Đó là biết đủ. Đó là minh triết, nhưng để ngộ được minh triết thì cần hiểu được Đạo ngũ hành.
  16. Cái này tôi chịu. Cóc hiểu.
  17. Tàu cũng có lắm thứ của ta, ta cũng có lắm thứ của tàu. Vậy tại sao ta cứ thích tuyệt đối, đoạt công lao kinh dịch về ta, mà không san sẻ cho tàu. Bác Thiên Sứ hiểu biết về Âm dương đến mức cực thịnh, có cả diễn đàn to. Hàng đàn đệ tử trung thành tiền hô hậu ủng, tán tụng bác lên đến tận mây xanh. Nhưng bác không biết thế nào là đủ, lại thích đoạt lấy âm dương, xâm lấn ngũ hành, bao trùm vũ trụ, lật đổ bigbang, thống nhất thế giới, trên tài Einstein, cướp công của tàu. Dương thịnh quá thì âm sinh. Thế là lòi ra một thằng bé tý, không biết chút gì về âm dương ngũ hành phong thủy, lon ton vào đây để nịnh gái. Bác hứa xem cho nó rồi bác nuốt. Nó đợi mãi không thấy, nó xấu hổ với gái, nó cáu. Bác sang US, nó bảo sẽ đón tiếp bác. Nhưng bác lại bảo, tập hợp các anh em PhD lại, bác sẽ giảng kinh, và các PhD đứng chầu bên cạnh, quay video up lên mạng. Thấy bác cực thịnh, không biết đủ, nó ngứa mắt. Thế là nó diệt bác bằng những thứ bác không biết, nên chả biết tránh né thế nào. Tử vi gặp triệt thì chết. Đào hoa gặp Không Kiếp thì thành hoa héo. Thiên Không hội Hồng Loan tại tý, sắc sắc không không, cố gắng cho lắm, tất cả lại trở thành hư vô. Đàn đàn lũ lũ đệ tử trở thành vô dụng, khi đáo hạn triệt lộ không vong. Cơ Nguyệt Đồng Lương đáo hạn gặp Phá phùng không kiếp đắc cách, cơ Nguyệt trở thành đồ bỏ. Có thái tuế thì có tang môn đối diện. Biết đủ, đó là Đạo của ngũ hành.
  18. Hehe, phát hiện ra, mình cũng có thể học được cách nói chuyện kiểu âm dương. Thế nào là thánh nhân, thế nào là phàm phu? Thánh nhân hay phàm phu thì cũng chỉ là tương đối. Đó là bản chất của Tứ tượng. Nhìn thấy nó lở loét đầy người, dớt dãi bê tha, tay vung xilanh để mình biết nó nghiện hút HIV mà tránh, mình là thánh nhân, nó là phàm phu. Số hạn đã đến, anh không tránh được. Nó túm cổ anh đòi tiền. Anh mang đạo đức kinh ra giảng, nó đánh anh gãy răng. Anh không có tiền, quỳ xuống van xin lạy lục. Vậy trong trường hợp này anh lại trở thành phàm phu, nó trở thành đại ca, thánh nhân. Anh quỳ xin thánh nhân xá tội cho phàm phu, nhưng không có tiền thì phàm phu phải chịu ăn đòn. Nó đánh anh xong. Anh đi bệnh viện, may không bị HIV. Anh báo công an bắt nó. Nó đi tù. Anh vẫy tay bai bai nó. Giảng đạo đức cho nó. Bây giờ anh lại thành thánh nhân, và nó lại là phàm phu. Một năm sau, nó ra tù, mang dao đến gặp anh. Nó lại thành thánh nhân. Có phải đó là đạo không anh?
  19. Anh nói phức tạp quá. Anh có khiếu chữ nho lắm. Mà anh bao nhiêu tuổi, cứ nói ra đi, kẻo sau đó lại vu cho tôi là không kính trọng già!!! Bây giờ, anh ra đường gặp một cậu da đen cao 2 mét, tay cầm chai rượu, đầu trọc lốc, xăm trổ đầy lưng, xin tiền anh, anh có dám lý luận trí với dũng của thánh nhân ra hay không? Mà chả cần, chỉ cần gặp thằng nghiện hút, HIV giai đoạn cuối, anh có dám trí dũng với nó không?Tử vi miếu vượng, không có tả hữu khanh tướng mà gặp tuần triệt thì cũng như tướng mất đầu, đế ngộ hung đồ mà thôi anh. Theo văn hóa phương đông, nên biết cái giới hạn của mình. Cái gì đầy quá thì thành vơi. Cái gì đủ quá thì thành thiếu. Dương thịnh quá thì hóa âm. Âm thịnh quá thì trở thành dương. Trăng tròn rồi lại khuyết. Khuyết rồi lại tròn. Áp dụng vào trường hợp bác Thiên Sứ. Biết giới hạn của lý thuyết của mình, đó là tri. Nếu muốn tuyệt đối hóa, trở thành bao trùm vũ trụ, thì trở thành vô tri . Tử phủ vũ tướng thì cũng có cơ Nguyệt đồng lương. Đã có Lộc tồn thì lại kèm theo lưu hà kiếp sát, kẹo tẩm thuốc độc. Kiến thức khoa học phương đông và phương tây, giống như hai nửa của thái cực. Ngũ hành bát quẻ nhiều quá, thì sẽ thành vô tri. Tuyệt đối hóa âm dương, đưa nó thành trung tâm vũ trụ, thống nhất tất cả mọi thứ, thì lập tức trở thành mâu thuẫn với thực tại. Ở đây, mọi người đều phải sử dụng máy vi tính, thành quả khoa học phương tây, thì mới lên mạng mà tán phét. Mà nguyên lý hoạt động của nó lại chính là những hiện tượng mà bác Thiên Sứ tìm cách bác bỏ. Cứng quá thì gãy. Tuyệt đối quá thì sai. Nhắn với bác Thiên Sứ. Từ khi vào đây, mình lại bị nhiễm về kinh dịch. Mệt quá. Đúng là nói với dân ở đây phải học cách nói chữ nho, chứ cứ chơi bigbang với lượng tử hóa, họ không hiểu. Mọi người chê tôi dùng tiếng anh, nhưng cũng toàn chơi tiếng tàu cả thôi. Tàu còn thủ đoạn chả kém mĩ đâu. Hãy nhìn Hoàng Sa Trường Sa đấy.
  20. Có một đồng nghiệp của tôi, nhận phản biện một "công trình lật đổ vũ trụ" của một anh công nhân nhà máy dệt, đã phản bác nhiều lần, mà tác giả không hiểu gì cả, vẫn cãi. Cuối cùng thì phải viết một phản biện thẳng cánh cò bay, dù anh công nhân kia lớn tuổi hơn nhiều. Và cuối cùng, người vợ của anh công nhân kia, đến mang theo hai cân cam, cảm ơn rối rít:"Cám ơn anh đã cứu nhà em. Suốt ngày ông ấy cứ lải nhải cái gì đó, khổ vợ khổ con, việc nhà không làm. Sau cái lá thư đó, em đốt hết tất cả bản thảo, và anh ấy bình thường trở lại, chăm sóc cho vợ con."
  21. Tức là ý anh nói rằng phải nói giảm nói tránh? Tôi không có thói quen đấy. Tôi coi bác Thiên Sứ là đồng nghiệp, cùng là người làm nghiên cứu ở hai lãnh vực khác nhau. Vì vậy, đối với một người cầu tiến, thì phải nói thẳng thắn với họ giới hạn kiến thức của họ đến đâu. Bác Thiên Sứ đã qua cái tuổi cần phải chăm bẵm như các em học sinh, cần vỗ vai động viên. Tôi đánh giá hoàn toàn khách quan, dựa trên hàm lượng hiểu biết của bác thể hiện trong lãnh vực này. Khi phương trình Einstein là vượt quá tầm hiểu biết của bác, thì không thể gọi là hiểu về thuyết tương đối được. 100 người, đó là cách đây 100 năm. Bây giờ nó đã là một kiến thức căn bản, mọi nghiên cứu sinh vật lý đều biết. Nhưng dù vậy, không thể nói về GR nếu không có 4 năm đào tạo trở lên. Thuyết tương đối được dạy lần đầu tiên cho cao học, ở trường tôi. Lạnh lùng và vô cảm, đó mới là khoa học. Không chấp nhận khái niệm gia đình chủ nghĩa trong học thuật. Anh khoe có bằng tiến sĩ, vậy chắc chắn nếu đó không phải tiến sĩ dởm, anh phải nhận ra cái sai sót trong các suy luận của bác, thừa hiểu được giá trị của luận điểm Bigbang đến đâu. Vậy lương tâm của anh để đâu, khi anh tiếp tục để một người già chìm đắm trong ảo tưởng khoa học như vậy. Đối với tôi, nhìn người ta khốn khổ như vậy mà không làm gì, đó là vô đạo đức. Nếu bác Sứ đóng ở vòng thái tuế, thì sẽ là một người thẳng thắn, trung thực. Cái này tôi cũng biết. Thái tuế đánh nhau với Tang Môn, chả có gì lạ. Tôi cũng đã đưa rất nhiều tài liệu để bác Sứ đọc. Tiếc rằng bác Sứ hoàn toàn không đọc, cứ cãi trước đã. (lý do tôi nói điều này, bác ấy reply trong vòng 5 phút, trong khi những tài liệu tôi đưa ra là ở trình độ cao, đọc phải mất cả năm. Mọi người ở đây có một cái sai lầm, đó là mặc định những lời nói của những người lớn tuổi, có học vị là chân lý. Tôi ở đây tranh cãi thế này, nhưng ra ngoài đường, gặp thằng đai đen Teiwondo, cao 2 mét, nặng 120 kg, tôi cũng phải trật tự. Hiểu cái hạn hẹp của mình, đó là trí.
  22. Xin lỗi, anh nói không nghĩ Tôi phê phán văn hóa phương đông bao giờ? Cái tôi phê phán là việc người ta sử dụng văn hóa phương đông không đúng cách. Tôi hỏi anh, vậy nếu kính trọng thì phải nói sao? Hay là phải nói rằng:"Tôi rất khâm phục hiểu biết của bác Thiên Sứ về thuyết tương đối rộng"? Và anh nghĩ, bác Thiên Sứ sẽ nhận lời khen đó, ngay cả khi bác ấy khôgn viết được phương trình Einstein??? Mỗi người có một sở trường. Trong Lãnh vực của anh, anh có thể là con hổ. Ra khỏi sở trường đó thì trở thành con giun mà thôi. Bác ấy là tôn trưởng trong phong thủy, không phải là tôn trưởng về vật lý học. Ví dụ, tôi mà đi tranh cãi về sinh học với một nhà sinh vật học, ít tuổi hơn tôi đi, người ta hoàn toàn có quyền nói, Anh chả biết gì về sinh học cả, không nói chuyện được. Trường hợp đó tôi phải nhận là tôi biết ít, và trật tự. Hay bây giờ, bác Thiên Sứ không biết đá bóng, ra sấn đá phản lưới nhà, bị người ta đuổi ra, mọi người bảo là không tôn trọng người lớn tuổi? Kính trọng người lớn thì không có nghĩa là bóp méo sự thật anh ạ. Nói gì thì nói, việc bác Sứ hoàn toàn không hiểu gì về thuyết tương đối, đó là sự thật hiển nhiên.
  23. Đúng, bác ấy hiểu sai bét về bigbang, thuyết tương đối sau đó tự phản biện cái sai của mình. Đề nghị bác Thiên Sứ phải cập nhật, đi học lại về thuyết tương đôi, trước khi nói về nó. Tuy nhiên, điều này là kô thể, khi ngay cả tiếng anh bác cũng ko biết. Học thuyết của bác sứ chả có chút gì ưu việt, vì nó không thể cho một kết quả chính xác. Nó không thể đưa ra công thức tính bán kính nguyên tử bao nhiêu, bước sóng của bức xạ của nguyên tử hidro bao nhiêu. Không giải thích được hiện tượng cong của ánh sáng. Vậy nó không có hi vọng tồn tại. Tại bác ấy dại thôi, cứ thích tìm cách phong cho cái mình nghĩ ra trở thàn trung tâm vũ trụ, để được công lao to hơn. Bác ấy kô chịu nhìn nhận đúng mức giá trị của lý thuyết của bác ấy đâu. Điều này chỉ đúng nếu bác sứ không tìm cách sử dụng ADNH để bác bỏ vật lý hiện đại, nhằm đề cao ADNH của mình.Tôi rất thích bài viết của anh quangnx về nhóm Lie. Rất đẹp về mặt khoa học. Tiếc rằng tất cả những người ở đây, không ai đủ tầm để hiểu nó, nên tôi sợ anh đã làm một điều vô ích. Muốn thống nhất ADNH và khoa học hiện đại, cần phải có kiến thức sâu sắc về cả hai, chứ nếu chỉ giỏi về môt ngành, mù mờ về ngành còn lại thì sự cố gắng chỉ là vô ích. Kính bút
  24. Tôi xin trả lời ngắn gọn các ý kiến trên 1-Đầu tiên tôi đã trao đối với bác Thiến sứ rất sòng phẳng về mặt học thuật. Tuy nhiên, rất nhiều người trong diễn đàn lại tìm cách chọc ngoáy vào, và tôi buộc phải phòng thủ. Trong trường hợp này,một mình tôi chấp hàng chục người.Cái đó gọi là, phòng vệ chính đáng. 2- Mọi người phê phán tôi về ngôn từ tôi sử dụng, vậy làm ơn xem lại những cái mà những người lớn tuổi ở đây nói trước đi. Họ cũng tâm địa bất nhân lắm cơ, vậy mà còn đi đòi có ý kiến. Bụt ngồi trên tòa, cớ sao gà mổ mắt. 3- Ở đây, tất cả với tôi chỉ là nick. Không có phân tuổi tác. Nếu anh muốn nói tuổi, anh phải gán cái mác:"Năm nay tôi 70 tuổi, nên rất cô đơn và mẫn cảm, làm ơn đừng nói nặng lời với tôi" dán vào cái nick. Tôi sẽ tha cho anh, kẻo đụng vào người già, họ nói thì ít, nhưng mang cái tuổi ra để bắt nạt người khác là nhiều. 4-Nếu luận điểm của bác sứ sai, thì việc hàng trăm người ở đây (có học bác sứ về PT) sẽ trở thành ngu ngốc hết một lượt, khi mà đi bảo vệ cho một cái mà họ cũng chả hiểu gì cả. Dân VN có đặc điểm, cái gì không hiểu thì cứ vỗ tay cho chắc ăn. Cả diễn đàn này chửi bới thế thôi, hỏi thuyết tương đối của Einstein chả ai hiểu gì đâu. Nên cứ tiền hô hậu ủng nhiều vảo, chết chùm càng thích. 5-Tôi đánh giá cao sự nhiệt tình, lòng yêu khoa học và đất nước Việt Nam của bác Thiên Sứ. Tuy nhiên, hiểu biết của bác Sứ về Khoa học thì tồi quá, không nói chuyện được. Các luận điểm mâu thuẫn với thực tế chan chát. Kết quả là, chả ai thèm công nhận cái tiểu luận của bác. Cháu nói luôn là vậy. Tuy nhiên, để đề phòng trường hợp bác tiếp tục không nhận ra sai lầm của mình, bác chọn một nick nào đó đi, cháu giúp một tay đưa lên để người khác phản biện.
  25. Tôi bắt đầu đưa lên đây các vấn đề mà tôi cho rằng sẽ liên quan đến cấu trúc toán học đằng sau của ADNH. Theo quan điểm của tôi, cấu trúc đằng sau của ADNH là từ lý thuyết biểu diễn của đại số và lý thuyết biểu diễn nhóm. Trước khi bắt đầu, tôi copy lại một số tài liệu cần thiết. Tất cả đều là tiếng anh và xin lỗi vì không dịch ra tiếng việt. Nếu bạn đủ trình độ toán học để hiểu cái này thì chắc chắn là đã đủ trình độ tiếng anh để làm việc trực tiếp. http://math.ucr.edu/home/baez/week253.html Đầu tiên là về E8 June 27, 2007 This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 253) John Baez Yay! Classes are over! Soon I'm going to Paris for three weeks, to talk with Paul-André Melliès about logic, games and category theory. But right now I'm in a vacation mood. So, I want to take a break from the Tale of Groupoidification, and mention some thoughts prompted by the work of Garrett Lisi: 1) Garrett Lisi, Deferential Geometry, http://deferentialgeometry.org. Garrett is a cool dude who likes to ponder physics while living a low-budget, high-fun lifestyle: hanging out in Hawaii, surfing, and stuff like that. He recently won a Foundational Questions Institute award to think about ways to unify particle physics and gravity. That's an institute devoted precisely to risky endeavors like this. Lately he's been visiting California. So, before giving a talk at Loops '07 - a loop quantum gravity conference taking place in Mexico this week - he stopped by Riverside to explain what he's been up to. Briefly, he's been trying to explain the 3 generations of elementary particles using some math called "triality", which is related to the octonions and the exceptional Lie groups. In fact, he's trying to use the exceptional Lie group E8 to describe all the particles in the Standard Model, together with gravity. I'd like to know if these ideas hold water. So, I should try to explain them! But as usual, in this Week's Finds I'll wind up explaining not what Garrett actually did, but what it made me think about. For a long time, people have been seeking connections between the messy pack of particles that populate the Standard Model and structures that seem beautiful and "inevitable". A fascinating step in this direction was the SU(5) grand unified theory proposed in 1975 by Georgi and Glashow. So, I'll start by summarizing that... and then explain how exceptional Lie groups might get involved in this game. What people usually call the gauge group of the Standard Model: SU(3) × SU(2) × U(1) actually has a bit of flab in it: there's a normal subgroup that acts trivially on all known particles. This subgroup is isomorphic to Z/6. If we mod out by this, we get the "true" gauge group of the Standard Model: G = (SU(3) × SU(2) × U(1))/(Z/6) And, this turns out to have a neat description. It's isomorphic to the subgroup of SU(5) consisting of matrices like this: (g 0) (0 h) where g is a 3×3 block and h is a 2×2 block. For obvious reasons, I call this group S(U(3) × U(2)) If you want some intuition for this, think of the 3×3 block as related to the strong force, and the 2×2 block as related to the electroweak force. A 3×3 matrix can mix up the 3 "colors" that quarks come in - red, green, and blue - and that's what the strong force is all about. Similarly, a 2×2 matrix can mix up the 2 "isospins" that quarks and leptons come in - up and down - and that's part of what the electroweak force is about. If this isn't enough to make you happy, go back to "week119", where I reviewed the Standard Model and its relation to the SU(5) grand unified theory. If even that isn't enough to make you happy, try this: 2) John Baez, Elementary particles, http://math.ucr.edu/home/baez/qg-spring2003/elementary/ Okay - I'll assume that one way or another, you're happy with the idea of S(U(3) × U(2)) as the true gauge group of the Standard Model! Maybe you understand it, maybe you're just willing to nod your head and accept it. Now, the fermions of the Standard Model form a very nice representation of this group. SU(5) has an obvious representation on C5, via matrix multiplication. So, it gets a representation on the exterior algebra Λ(C5). If we restrict this from SU(5) to S(U(3) × U(2)), we get precisely the representation of the true gauge group of the Standard Model on one generation of fermions and their antiparticles! This really seems like a miracle when you first see it. All sorts of weird numbers need to work out exactly right for this trick to succeed. For example, it's crucial that quarks have charges 2/3 and -1/3, while leptons have charges 0 and -1. One gets the feeling, pondering this stuff, that there really is some truth to the SU(5) grand unified theory. To give you just a little taste of what's going on, let me show you how the exterior algebra Λ(C5) corresponds to one generation of fermions and their antiparticles. For simplicity I'll use the first generation, since the other two work just the same: Λ0(C5) ≅ <left-handed antineutrino> Λ1(C5) ≅ <right-handed down quark> ⊕ <right-handed positron, right-handed antineutrino> Λ2(C5) ≅ <left-handed up antiquark> ⊕ <left-handed up quark, left-handed down quark> ⊕ <left-handed positron> Λ3(C5) ≅ <right-handed electron> ⊕ <right-handed up antiquark, right-handed down antiquark> ⊕ <right-handed up quark> Λ4(C5) ≅ <left-handed up antiquark> ⊕ <left-handed electron, left-handed neutrino> Λ5(C5) ≅ <right-handed neutrino> All the quarks and antiquarks come in 3 colors, which I haven't bothered to list here. Each space Λp(C5) is an irreducible representation of SU(5), but most of these break up into several different irreducible representations of S(U(3) × U(2)), which are listed as separate rows in the chart above. If you're curious how this "breaking up" works, let me explain - it's sort of pretty. We just use the splitting C5 ≅ C3 ⊕ C2 to chop the spaces Λp(C5) into pieces. To see how this works, remember that Λp(C5) is just the vector space analogue of the binomial coefficient "5 choose p". A basis of C5 consists of 5 things, and the p-element subsets give a basis for Λp(C5). In our application to physics, these 5 things consist of 3 "colors" - red, green and blue - and 2 "isospins" - up and down. This gives various possible options. For example, suppose we want a basis of Λ3(C5). Then we need to pick 3 things out of 5. We can do this in various ways: We can pick 3 colors and no isospins - there's just one way to do that. We can pick 2 colors and 1 isospin - there are six ways to do that. Or, we can pick 1 color and 2 isospins - there are three ways to do that. So, in terms of binomial coefficients, we have (5 choose 3) = (3 choose 3)(2 choose 0) + (3 choose 2)(2 choose 1) + (3 choose 1)(2 choose 2) = 1 + 6 + 3 = 10 In terms of vector spaces we have: Λ3(C5) ≅ Λ3(C3) ⊗ Λ0(C2) ⊕ Λ2(C3) ⊗ Λ1(C2) ⊕ Λ1(C3) ⊗ Λ2(C2) Taking dimensions of these vector spaces, we get 10 = 1 + 6 + 3. Finally, in terms of the SU(5) grand unified theory, we get this: Λ3(C5) = <right-handed electron> ⊕ <right-handed up antiquark, right-handed down antiquark> ⊕ <right-handed up quark> If we play this game for all the spaces Λp(C5), here's what we get: Λ0(C5) ≅ Λ0(C3) ⊗ Λ0(C2) Λ1(C5) ≅ Λ1(C3) ⊗ Λ0(C2) ⊕ Λ0(C3) ⊗ Λ1(C2) Λ2(C5) ≅ Λ2(C3) ⊗ Λ0(C2) ⊕ Λ1(C3) ⊗ Λ1(C2) ⊕ Λ0(C3) ⊗ Λ2(C2) Λ3(C5) ≅ Λ3(C3) ⊗ Λ0(C2) ⊕ Λ2(C3) ⊗ Λ1(C2) ⊕ Λ1(C3) ⊗ Λ2(C2) Λ4(C5) ≅ Λ3(C3) ⊗ Λ1(C2) ⊕ Λ2(C2) ⊗ Λ2(C2) Λ5(C5) ≅ Λ3(C3) ⊗ Λ2(C2) If we interpret this in terms of physics, we get back our previous chart: Λ0(C5) ≅ <left-handed antineutrino> Λ1(C5) ≅ <right-handed down quark> ⊕ <right-handed positron, right-handed antineutrino> Λ2(C5) ≅ <left-handed up antiquark> ⊕ <left-handed up quark, left-handed down quark> ⊕ <left-handed positron> Λ3(C5) ≅ <right-handed electron> ⊕ <right-handed up antiquark, right-handed down antiquark> ⊕ <right-handed up quark> Λ4(C5) ≅ <left-handed up antiquark> ⊕ <left-handed electron, left-handed neutrino> Λ5(C5) ≅ <right-handed neutrino> Now, all this is really cool - but in fact, even before inventing the SU(5) theory, Georgi went a bit further, and unified all the left-handed fermions above into one irreducible representation of a somewhat bigger group: Spin(10). This is the double cover of the group SO(10), which describes rotations in 10 dimensions. If you look at the chart above, you'll see the left-handed fermions live in the even grades of the exterior algebra of C5: Λeven(C5) = Λ0(C5) ⊕ Λ2(C5) ⊕ Λ4(C5) This big space forms something called the left-handed Weyl spinor representation of Spin(10). It's an irreducible representation. Similarly, the right-handed fermions live in the odd grades: Λodd(C5) = Λ1(C5) ⊕ Λ3(C5) ⊕ Λ5(C5) and this big space forms the right-handed Weyl spinor representation of Spin(10). It's also irreducible. I can't resist mentioning that there's also a gadget called the Hodge star operator that maps Λeven(C5) to Λodd(C5), and vice versa. In terms of physics, this sends left-handed particles into their right-handed antiparticles, and vice versa! But if I get into digressions like these, it'll take forever to tackle the main question: how does this "Weyl spinor" stuff work? It takes advantage of some very nice general facts. First, Cn is just another name for R2n equipped with the structure of a complex vector space. This makes SU(n) into a subgroup of SO(2n). So, it makes the Lie algebra su(n) into a Lie subalgebra of so(2n). The group SU(n) acts on the exterior algebra Λ(Cn). So, its Lie algebra su(n) also acts on this space. The really cool part is that this action extends to all of so(2n). This is something you learn about when you study Clifford algebras, spinors and the like. I don't know how to explain it without writing down some formulas. So, for now, please take my word for it! This business doesn't give a representation of SO(2n) on Λ(Cn), but it gives a representation of the double cover, Spin(2n). This is called the "Dirac spinor" representation. It breaks up into two irreducible parts: Λ(Cn) = Λeven(Cn) ⊕ Λodd(Cn) and these are called the left- and right-handed "Weyl spinor" representations. Perhaps it's time for an executive summary of what I've said so far: The Dirac spinor representation of Spin(10) neatly encodes everything about how one generation of fermions interacts with the gauge bosons in the Standard Model, as long as we remember how S(U(2) × U(3)) sits inside SO(10), which is double covered by Spin(10). Of course, there's more to the Standard Model than this. There's also the Higgs boson, which spontaneously breaks electroweak symmetry and gives the fermions their masses. And, if we want to use this same trick to break the symmetry from Spin(10) down to S(U(3) × U(2)), we need to introduce more Higgs bosons. This is the ugly part of the story, it seems. Since I'm on vacation, I'll avoid it for now. Next: how might exceptional Lie groups get involved in this game? When Cartan classified compact simple Lie groups, he found 3 infinite families related to rotations in real, complex and quaternionic vector spaces: the SO(n)'s, SU(n)'s and Sp(n)'s. He also found 5 exceptions, which have the charming names G2, F4, E6, E7, and E8. These are all related to the octonions. G2 is just the automorphism group of the octonions. The other 4 are closely related to each other - thanks to the "magic square" of Rosenfeld, Freudenthal and Tits. I talked about the magic square a bit in "week106" and "week145", and much more here: 3) John Baez, The magic square, http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node16.html Instead of repeating all that, let me just summarize. The magic square gives vector space isomorphisms as follows: f4 ≅ so(R ⊕ O) ⊕ (R ⊗ O)2 e6 ≅ so(C ⊕ O) ⊕ (C ⊗ O)2 ⊕ Im© e7 ≅ so(H ⊕ O) ⊕ (H ⊗ O)2 ⊕ Im(H) e8 ≅ so(O ⊕ O) ⊕ (O ⊗ O)2 Here f4, e6, e7 and e8 stand for the Lie algebras of the compact real forms of these exceptional Lie groups. R, C, H, and O are the usual suspects - the real numbers, complex numbers, quaternions and octonions. For any real inner product space V, so(V) stands for the Lie algebra of the rotation group of V. And, for each of the isomorphisms above, we must equip the vector space on the right side with a cleverly (but not perversely!) defined Lie bracket to get the Lie algebra on the left side. Here's another way to say the same thing, which may ring more bells: f4 ≅ so(9) ⊕ S9 e6 ≅ so(10) ⊕ S10 ⊕ u(1) e7 ≅ so(12) ⊕ S12+ ⊕ su(2) e8 ≅ so(16) ⊕ S16+ Here S9 and S10 are the unique irreducible real spinor representations of so(9) and so(10), respectively. In the other two cases, the little plus signs mean that there are two choices of irreducible real spinor representation, and we're taking the left-handed choice. All this must seem like black magic of the foulest sort if you haven't wasted months thinking about the octonions and exceptional groups! Be grateful: I did it so you wouldn't have to. Anyway: the case of E6 should remind you of something! After all, we've just been talking about so(10) and its left-handed spinor representation. These describe the gauge bosons and one generation of left-handed fermions in the Spin(10) grand unified theory. But now we're seeing this stuff neatly packed into the Lie algebra of E6! More precisely, the Lie algebra of E6 can be chopped into 3 pieces in a noncanonical way: so(10) the unique irreducible real spinor representation of so(10), which by now we've given three different names: S10 ≅ Λeven(C5) ≅ (C ⊗ O)2 u(1) The first part contains all the gauge bosons in the SO(10) grand unified theory. The second contains one generation of left-handed fermions. But what about the third? Well, S10 is defined to be a real representation of so(10). But, it just so happens that the action of so(10) preserves a complex structure on this space. This is just the obvious complex structure on (C ⊗ O)2, or if you prefer, Λeven(C5). So, there's an action of the unit complex numbers, U(1), on S10 which commutes with the action of so(10). Differentiating this, we get an action of the Lie algebra u(1): u(1) ⊗ S10 → S10 And this map gives part of the cleverly defined Lie bracket operation in e6 ≅ so(10) ⊕ S10 ⊕ u(1) All this stuff is mysterious, but suggestive. It could be mere coincidence, or it could be the tip of an iceberg. It's more fun to assume the latter. So, let me say some more about it.... The copy of u(1) in here: E6 ≅ so(10) ⊕ S10 ⊕ u(1) is pretty amusing from a physics viewpoint. It's if besides the gauge bosons in so(10), there were one extra gauge boson whose sole role is to describe the fact that the fermions form a complex representation of so(10). This is funny, since one of the naive ideas you sometimes hear is that you can take the obvious U(1) symmetry every complex Hilbert space has and "gauge" it to get electromagnetism. That's not really the right way to understand electromagnetism! There are lots of different irreducible representations of U(1), corresponding to different charges, and in physics we should think about all of these, not just the obvious one that we automatically get from any complex Hilbert space. If we only used the obvious one, all particles would have charge 1. But in the Spin(10) grand unified theory, the electromagnetic u(1) Lie algebra is sitting inside so(10); it's not the u(1) you see above. The u(1) you see above is the "obvious" one that the spinor representation S10 gets merely from being a complex Hilbert space. The splitting e6 = so(10) ⊕ S10 ⊕ u(1) also hints at a weird unification of bosons and fermions, something different from supersymmetry. We're seeing e6 as a Z/2-graded Lie algebra with so(10) ⊕ u(1) as its "bosonic" part and S10 as its "fermionic" part. But, this is not a Lie superalgebra, just an ordinary Lie algebra with a Z/2 grading! Furthermore, an ordinary Lie algebra with a Z/2 grading is precisely what we need to build a "symmetric space". This is really cool, since it explains what I meant by saying that the split of e6 into bosonic and fermionic parts is "noncanonical". We'll get a space, and each point in this space will give a different way of splitting e6 as e6 = so(10) ⊕ S10 ⊕ u(1) It's also cool because it gives me an excuse to talk about symmetric spaces... a topic that deserves a whole week of its own! Symmetric spaces are the epitome of symmetry. A "homogeneous space" is a manifold with enough symmetry that any point looks like any other. A symmetric space is a homogeneous space with an extra property: the view from any point in any direction is the same as the view in the opposite direction! Euclidean spaces and spheres are the most famous examples of symmetric spaces. If an ant decides to set up residence on a sphere, any point is just as good any other. And, if sits anywhere and looks in any direction, the view is the same as the view in the opposite direction. The symmetric space we get from the above Z/2-graded Lie algebra is similar, but more exotic: it's the complexified version of the octonionic projective plane! But let's start with the basics: Suppose someone hands you a Lie algebra g with a Lie subalgebra h. Then you can form the simply-connected Lie group G whose Lie algebra is g. Sitting inside G, there's a connected Lie group H whose Lie algebra is h. The space G/H is called a "homogeneous space". Such things are studied in Klein geometry, and I've been talking about them a lot lately. But now, suppose g is a Z/2-graded Lie algebra. Its even part will be a Lie subalgebra; call this h. This gives a specially nice sort of homogeneous space G/H, called a "symmetric space". This is better than your average homogeneous space. Why? Well, first of all, for each point p in G/H there's a map from G/H to itself called "reflection through p", which fixes the point p and acts as -1 on the tangent space of p. When our point p comes from the identity element of G, this reflection map corresponds to the Z/2 grading of the Lie algebra, which fixes the even part and acts as -1 on the odd part. This is what I meant by saying that in a symmetric space, "the view in any direction is the same as the view in the opposite direction". Second, these reflection maps satisfy some nice equations. Write p>q for the the result of reflecting q through p. Then we have: p>(p>q) = q p>p = p and p>(q>r) = (p>q) > (p>r) A set with an operation satisfying these equations is called an "involutory quandle". Quandles are famous in knot theory. Now we're seeing them in another role. Let me summarize with a few theorems - I hope they're all true, because I don't know a book containing all this stuff. We can define a "symmetric space" to be an involutory quandle that's a manifold, where the operation > is smooth and the reflection map x |→ p>x has derivative -1 at p. Any Z/2-graded Lie algebra gives a symmetric space. Conversely, any symmetric space has a universal cover that's a symmetric space coming from a Z/2-graded Lie algebra! Using this correspondence, the Lie algebra e6 with the Z/2-grading I described gives a symmetric space, roughly: E6/(Spin(10) × U(1)) But, this guy is a lot better than your average symmetric space! For starters, it's a "Riemannian symmetric space". This is a symmetric space with a Riemannian metric that's preserved by all the operations of reflection through points. Compact Riemannian symmetric spaces were classified by Cartan, and you can see the classification here, in a big chart: 4) Riemannian symmetric spaces, Wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Riemannian_symmetric_space As you'll see, there are 7 infinite families and 12 exceptional cases. The symmetric space I'm talking about now, namely E6/(Spin(10) × U(1)), is called EIII - it's the third exceptional case. And, as you can see from the chart in this article, it's the complexified version of the octonionic projective plane! For this reason, I sometimes call it (C ⊗ O)P2 In fact, this space is better than your average Riemannian symmetric space. It's a Kähler manifold, thanks to that copy of U(1), which makes each tangent space complex. Moreover, the Kähler structure is preserved by all the operations of reflection through points. So, it's a "hermitian symmetric space". You're probably drowning under all this terminology unless you already know this stuff. I guess it's time for another executive summary: Each point in the complexified octonionic projective plane gives a different way of splitting the Lie algebra of E6 into a bosonic part and a fermionic part. The fermionic part is just what we need to describe one generation of left-handed Standard Model fermions. The bosonic part is just what we need for the gauge bosons of the Spin(10) grand unified theory, together with a copy of u(1), which describes the complex structure of the left-handed Standard Model fermions. Another nice fact is that (C ⊗ O)P2 is one of the Grassmannians for E6. I explained this general notion of "Grassmannian" back in "week181", and you can see this 16-dimensional one in the list near the end of that Week. Even better, if you geometrically quantize this Grassmannian using the smallest possible symplectic structure, you get the 27-dimensional representation of E6 on the exceptional Jordan algebra! So, there's a lot of seriously cool math going on here... but since the basic idea of relating the Standard model to E6 is only half-baked, all the ideas I'm mentioning now are at best quarter-baked. They're mathematically correct, but I can't tell if they're leading somewhere interesting. In fact, I would have kept them in the oven longer had not Garrett Lisi brought E6's big brother E8 into the game in a tantalizing way. I'll conclude by summarizing this... and you can look at his website for more details. But first, let me emphasize that this E8 business is the most recent and most speculative thing Garrett has done. So, if you think the following idea is nuts, please don't jump to conclusions and decide everything he's doing is nuts! Briefly, his idea involves taking the description of e8 I already mentioned: e8 = so(O ⊕ O) ⊕ (O ⊗ O)2 and writing the linear transformations in so(O ⊕ O) as two 8×8 blocks living in so(O), together with an off-diagonal block living in O ⊗ O. This gives e8 = so(O) ⊕ so(O) ⊕ (O ⊗ O)3 Then, he wants to use each of the three copies of O ⊗ O to describe one of the three generations of fermions, while using the so(O) ⊕ so(O) stuff to describe bosons (including gravity). For this, he builds on some earlier work where he sought to combine gravity, the Standard Model gauge bosons, the Higgs and one generation of Standard Model fermions in an so(7,1) version of MacDowell-Mansouri gravity. If I were really being responsible, I would describe and assess this earlier work. But, it's summer and I just want to have fun.... In fact, the above alternate description of E8 is the one Bertram Kostant told me about back in 1996. He said it a different way, which is equivalent: E8 = so(8) ⊕ so(8) ⊕ End(V8) ⊕ End(S8+) ⊕ End(S8-) Here V8, S8+ and S8- are the vector, left-handed spinor, and right-handed spinor representations of Spin(8). All three are 8-dimensional, and all are related by outer automorphisms of Spin(8). That's what "triality" is all about. You can see more details in "week90". The idea of relating the three generations to triality is cute. Of course, even if it worked, you'd need something to give the fermions in different generations different masses - which is what happens already in the Standard Model, thanks to the Higgs boson. It's the bane of all post-Standard Model physics: symmetry looks nice, but the more symmetry your model has, the more symmetries you need to explain away! As the White Knight said to Alice: But I was thinking of a plan To dye one's whiskers green, And always use so large a fan That they could not be seen. Someday we may think of a way around this problem. But for now, I've got a more pressing worry. This splitting of E6: E6 = so(10) ⊕ S10+ ⊕ u(1) corresponds to a Z/2-grading where so(10) ⊕ u(1) is the "bosonic" or "even" part and S10+ is the "fermionic" or "odd" part. This nicely matches the way so(10) describes gauge bosons and S10+ describes fermions in Georgi's grand unified theory. But, this splitting of E8: E8 = so(8) ⊕ so(8) ⊕ End(V8) ⊕ End(S8+) ⊕ End(S8-) does not correspond to any Z/2-grading where so(8) ⊕ so(8) is the bosonic part and End(V) ⊕ End(S+) ⊕ End(S-) is the fermionic part. There is a closely related Z/2-grading of E8, but it's this: E8 = so(16) ⊕ S16+ So, right now I don't feel it's mathematically natural to use this method to combine bosons and fermions. But, only time will tell. Here are some more references. The SU(5) grand unified theory was published here: 5) Howard Georgi and Sheldon Glashow, Unity of all elementary-particle forces, Phys. Rev. Lett. 32 (1974), 438. For a great introduction to the Spin(10) grand unified theory - which is usually called the SO(10) GUT - try this: 6) Anthony Zee, Quantum Field Theory in a Nutshell, Chapter VII: SO(10) unification, Princeton U. Press, Princeton, 2003. Then, try these more advanced review articles: 7) Jogesh C. Pati, Proton decay: a must for theory, a challenge for experiment, available as hep-ph/0005095. 8) Jogesh C. Pati, Probing grand unification through neutrino oscillations, leptogenesis, and proton decay, available as hep-ph/0305221. The last two also consider the gauge group "G(224)", meaning SU(2) × SU(2) × SU(4). By the way, there's also a cute relation between the SO(10) grand unified theory and 10-dimensional Calabi-Yau manifolds, discussed here: 9) John Baez, Calabi-Yau manifolds and the Standard Model, available as hep-th/0511086 This is an easy consequence of the stuff I've explained this week. To see what string theorists are doing to understand the Standard Model these days, see the following papers. Amusingly, they also use E8 - but in a quite different way: 10) Volker Braun, Yang-Hui He, Burt A. Ovrut and Tony Pantev, A heterotic Standard Model, available as hep-th/0501070. A Standard Model from the E8 × E8 heterotic superstring, hep-th/0502155. Vector bundle extensions, sheaf cohomology, and the heterotic Standard Model, available as hep-th/0505041. Heterotic Standard Model moduli, available as hep-th/0509051. The exact MSSM spectrum from string theory, available as hep-th/0512177. All this stuff is really cool - but alas, they get the "minimal supersymmetric Standard Model", or MSSM, which has a lot more particles than the Standard Model, and a lot more undetermined parameters. Of course, these flaws could become advantages if the next big particle accelerator, the Large Hadron Collider, sees signs of supersymmetry. For more on symmetric spaces, try these: 11) Sigurdur Helgason, Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces, AMS, Providence, Rhode Island, 2001. 12) Audrey Terras, Harmonic Analysis on Symmetric Spaces and Applications I, Springer, Berlin, 1985. Harmonic Analysis on Symmetric Spaces and Applications II, Springer, Berlin, 1988. 13) Arthur Besse, Einstein Manifolds, Springer, Berlin, 1986. They're all classics. Helgason's book will teach you differential geometry and Lie groups before doing Cartan's classification of symmetric spaces. Terras' books are full of fun connections to other branches of math. Besse's book has lots of nice charts, and goes much deeper into the Riemannian geometry of symmetric spaces. These dig deeper into the algebraic aspects of symmetric spaces: 14) W. Bertram, The Geometry of Jordan and Lie structures, Lecture Notes in Mathematics 1754, Springer, Berlin, 2001. 15) Ottmar Loos, Jordan triple systems, R-spaces and bounded symmetric domains, Bull. AMS 77 (1971), 558-561. 16) Ottmar Loos, Symmetric Spaces I: General Theory, W. A. Benjamin, New York, 1969. Symmetric Spaces II: Compact Spaces and Classification, W. A. Benjamin, New York, 1969. Finally, an obnoxious little technical note. The complexification of the octonionic projective plane is not really E6/(Spin(10) × U(1)); it's E6/((Spin(10) × U(1))/(Z/4)) This is worked out here: 17) John Frank Adams, Lectures on Exceptional Lie Groups, eds. Zafer Mahmud and Mamoru Mimura, University of Chicago Press, Chicago, 1996. Addendum: Joseph Hucks points out his paper describing the 13 different groups with Lie algebra su(3) ⊕ su(2) ⊕ u(1), and their implications for physics: 18) Joseph Hucks, Global structure of the standard model, anomalies, and charge quantization, Phys. Rev. D 43 (1991), 2709-2717. Using S(U(3) × U(2)) and demanding anomaly cancellation, we automatically get a lot of the features of the Standard Model fermions. Toby Bartels wisely points out that my basic examples of symmetric spaces - Euclidean spaces and sphere - are actually a bit misleading. I'd written: Euclidean spaces and spheres are the most famous examples of symmetric spaces. If an ant decides to set up residence on a sphere, any point is just as good any other. And, if sits anywhere and looks in any direction, the view is the same as the view in the opposite direction. But in these particular examples, the view in any direction is the same as the view in any other direction! These spaces are more symmetrical than your average symmetric space: they're isotropic. So, it's good to see some other examples, like a torus formed as the product of two circles of different radii. Any product of symmetric spaces is a symmetric space, so this is definitely a symmetric space. And, if you think about it, the ant's-eye view in any direction is just the same as the view in the opposite direction. But, this space is not isotropic: there are special directions, corresponding to "the short way around the torus" and "the long way around the torus". The octonionic projective plane OP2 is not only a symmetric space: it's isotropic! But according to Tony Smith, the complexified version (C ⊗ O)P2 is not isotropic: In Spaces of Constant Curvature, Fifth Edition (Publish or Perish 1984), Joseph A. Wolf says (pages 293-294): ... M is called isotropic at x if I(M)x is transitive on the unit sphere in Mx; it is isotropic if it is isotropic at every point. ... M is isotropic if and only if it is two point homogeneous. ... Let M be a riemannian symmetric space. Then the following conditions are equivalent. (i) M is two point homogeneous. (ii) Either M is a euclidean space or M is irreducible and of rank 1. Since (C ⊗ O)P2 = E6/(SO(10) × SO(2)) is rank 2, it is NOT isotropic. In the quote by Wolf, I can only guess that I(M)x is the group of isometries of M that fix the point x, while Mx is the tangent space of M at x. Similarly, I guess that "two point homogeneous" means that for any D ≥ 0, the isometry group of M acts transitively on the set of pairs of points in M whose distance from each other is D. I also thank Tony for correcting some errors involving spinors. There's some quite subtle stuff going on here. For example, above it says that: Well, S10 is defined to be a real representation of so(10). But, it just so happens that the action of so(10) preserves a complex structure on this space. This is just the obvious complex structure on (C ⊗ O)2, or if you prefer, Λeven(C5). So, there's an action of the unit complex numbers, U(1), on S10+ which commutes with the action of so(10). But in fact, so(10) preserves two complex structures on S10. This is how it always works: if some complex structure J is preserved by some group or Lie algebra action, so is -J. In the case at hand, one of these makes the representation of so(10) into a complex representation isomorphic to its left-handed Weyl spinor representation on Λeven (C5). The other gives the right-handed Weyl spinor representation on Λodd(C5). Neither one of these is "more correct" than the other. So, whenever I talk about e6 as being related to one generation of left-handed Standard Model fermions, I could equally well say "right-handed Standard Model fermions". It just depends on which complex structure we choose! Furthermore, when we complexify the real Lie algebra e6, we get C ⊗ e6 ≅ so(10,C) ⊕ Λ(C5) ⊕ C where Λ(C5) is the Dirac spinor representation of so(10,C), describing both left- and right-handed fermions. For more discussion, go to the n-Category Café. The Big Crunch was her nickname for the mythical result that the Niah had aspired to reach: a unification of every field of mathematics that they considered significant. - Greg Egan, Glory © 2007 John Baez baez@math.removethis.ucr.andthis.edu